1 семестр | 2 семестр | 3 семестр | 4 семестр | Мат. анализ ч1 | Мат. анализ ч2 |

Мат. анализ ч3 | Мат. анализ ч4 | Строение атомных ядер | Модели атомных ядер | Ядерные реакции | Термодинамика | Магнитое поле | Оптика | Механика Показательная форма комплексного числа

Курс лекций по высшей математике начало

 

Непрерывность обратной функции

Пусть $ f(x)$ -- функция, непрерывная на отрезке $ [a;b]$. Предположим, что $ f(x)$ монотонна на $ [a;b]$; пусть, для определённости, она монотонно возрастает: из $ x_1<x_2$ следует, что $ f(x_1)<f(x_2)$. Тогда образом отрезка $ [a;b]$ будет отрезок $ [c;d]$, где $ c=f(a)$ и $ d=f(b)$ (действительно, непрерывная функция принимает любое промежуточное между $ f(a)$ и $ f(b)$ значение, причём ровно один раз, что следует из монотонности). Поэтому существует обратная к $ y=f(x)$ функция $ {x={\varphi}(y)}$ функция, действующая из $ [c;d]$ в $ [a;b]$. Очевидно, что $ {\varphi}$ монотонно возрастает. (Если бы функция $ f$ была монотонно убывающей, то и обратная к ней функция $ {\varphi}$ тоже была бы монотонно убывающей.) Интегралы 1-го типа всегда можно представить в виде , 

где   – многочлен -й степени с неопределенными коэффициентами,  – также неопределенный коэффициент.

Теория поля дивергенция и ротор

Теория поля Если в каждой точке М определенной пространственной области задано значение некоторой скалярной или векторной величины, то говорят, что задано поле этой величины (соответственно скалярное или векторное).

Найти поток векторного поля  через часть плоскости  ограниченную координатными плоскостями (нормаль к плоскости образует острый угол с осью Oz).

        Теорема 3.11   Пусть $ f$ -- непрерывная монотонная функция, $ \mathcal{D}(f)=[a;b]$, $ \mathcal{E}(f)=[c;d]$. Тогда обратная к $ f$ функция $ {\varphi}$ непрерывна на отрезке $ [c;d]$.

Гексаэдр - правильный шестигранник Вычислим интеграл Математика Задачи Ортогональная система координат в пространстве Математическая модель

        Доказательство.     Во-первых, заметим, что если $ x_1\ne x_2$, $ x_1,x_2\in[a;b]$, то $ {\vert f(x_2)-f(x_1)\vert=\vert y_2-y_1\vert>0}$.

Во-вторых, пусть $ 0<h<b-a$; рассмотрим функцию $ g_h(x)=f(x+h)-f(x)$, которая определена при $ x\in[a;b-h]$. Очевидно, что $ g_h$ -- непрерывная на $ [a;b-h]$ функция, поэтому она принимает наименьшее значение $ {\alpha}_h$ в некоторой точке $ \xi\in[a;b-h]$:

$\displaystyle \min\limits_{[a;b-h]}g_h(x)=g_h(\xi)=f(\xi+h)-f(\xi)={\alpha}_h>0.$

Таким образом, если $ \vert x_2-x_1\vert\geqslant h$, то $ \vert f(x_2)-f(x_1)\vert\geqslant {\alpha}_h$, то есть если $ \vert f(x_2)-f(x_1)\vert<{\alpha}_h$, то $ \vert x_2-x_1\vert<h$. Последнее утверждение можно переформулировать так: для любого числа $ {\varepsilon}(=h)>0$ найдётся число $ {\delta}(={\alpha}_h)>0$, такое что при $ \vert y_2-y_1\vert<{\delta}$ выполняется неравенство $ \vert{\varphi}(y_2)-{\varphi}(y_1)\vert<{\varepsilon}$. (При этом $ y_1=f(x_1)$, $ y_2=f(x_2)$, $ x_1={\varphi}(y_1)$, $ x_2={\varphi}(y_2)$.) Получили, что функция $ {\varphi}$ удовлетворяет определению равномерной непрерывности на отрезке $ [c;d]$; тем самым доказано утверждение теоремы.     
Интеграл Фурье Дифференциал функции Квантооптические явления
Высшая математика 1 семестр Конспекты 2 семестр Лекции 3 семестр
Примеры решения задач 4 семестр Вычисление Интегралов Математический анализ Аналитическая геометрия Элементарная математика Билеты к экзамену Учебник Mathematica Описание MATLAB Лекции по физике Электростатика Основы оптики Квантовая механика Нейтронная физика Электромагнитное взаимодействие Электрическое поле
Призматоид многогранник