Окружность

Начнем с определения окружности, известного из школьного курса математики.

Определение 12.2 Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.

Очевидно следующее утверждение, которое мы сформулируем для интеграла с бесконечным верхним пределом: сходится тогда и только тогда, когда для любого c, удовлетворяющего неравенству c > a, сходится интеграл

Признак сравнения в предельной форме

Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус.

Теорема 12.1 Окружность радиуса с центром в точке имеет уравнение

$\displaystyle (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2.$

(12.2)

Доказательство. Пусть

-- текущая точка окружности. По определению окружности расстояние

равно

(рис. 12.1)

Рис.12.1.Окружность

По формуле (10.4) для плоскости получаем, что точки окружности и только они удовлетворяют уравнению

Гексаэдр - правильный шестигранник Вычислим интеграл Математика Задачи Ортогональная система координат в пространстве Математическая модель

$\displaystyle \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=R.$

Обе части уравнения неотрицательны. Поэтому после возведения их в квадрат получим эквивалентное уравнение (12.2).

Если в уравнении (12.2) раскрыть скобки и привести подобные члены, то вид его изменится. Однако любое уравнение окружности с помощью тождественных преобразований можно привести к виду (12.2). Для этого достаточно выделить полные квадраты по переменным и .