Расстояние от точки до плоскости

Предложение 11.1 Пусть плоскость $\Pi$ задана уравнением и дана точка . Тогда расстояние $\rho$ от точки до плоскости $\Pi$ определяется по формуле

Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций, относительно оси вращения

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярных координатах.

$\displaystyle \rho=\frac{\vert Ax_0+By_0+Cz_0+D\vert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$

(11.7)

Нормальное уравнение прямой Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см²

Вектор $\overrightarrow {KM_0}$ и нормальный вектор n плоскости $\Pi$ параллельны, то есть угол ${\varphi}$ между ними равен 0 или $\pi$ , если вектор n имеет направление противоположное, указанному на рис. 11.9. Поэтому

Координаты точки

, которые нам неизвестны, обозначим $x_1,\,y_1,\,z_1$ . Тогда $\overrightarrow {KM_0}=(x_0-x_1;y_0-y_1;z_0-z_1)$ . Так как ${{\bf n}=(A;B;C)}$ , то ${{\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}=A(x_0-x_1)+B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)}$ . Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые, получим

Точка

лежит на плоскости $\Pi$ , поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости: ${Ax_1+By_1+Cz_1+D=0}$ . Отсюда находим, что ${Ax_1+By_1+Cz_1=-D}$ . Подставив полученный результат в формулу (11.9), получим ${{\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}=Ax_0+By_0+Cz_0+D}$ . Так как ${\vert{\bf n}\vert= \sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ , то из формулы (11.8) следует формула (11.7).

Курс лекций по высшей математике

Расстояние от точки до плоскости