Угол между плоскостями

Угол между плоскостями

Пусть плоскости $\Pi_1$ и $\Pi_2$ заданы соответственно уравнениями

. Требуется найти угол ${\varphi}$ между этими плоскостями.

Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла (рис. 11.6): два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры и к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы ${\bf n}_1$ и ${\bf n}_2$ плоскостей $\Pi_1$ и $\Pi_2$ с началами в точке (рис. 11.6). Уравнение прямой по точке и вектору нормали В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0

Непосредственное интегрирование. Пример. Найти . В простейших примерах применяется метод непосредственного интегрирования, то есть используются свойства и таблицы интегралов. А именно, при помощи тождественных преобразований подынтегрального выражения исходный интеграл сводится к табличному интегралу или к сумме табличных интегралов.

Замена переменной под знаком интеграла

Интегрирование рациональной функции Найти интегралы:

Вычислить определенный интеграл

Рис.11.6.Угол между плоскостями

Гексаэдр - правильный шестигранник Вычислим интеграл Математика Задачи Ортогональная система координат в пространстве Математическая модель

Если через точку провести плоскость $\Pi$ , перпендикулярную линии пересечения плоскостей $\Pi_1$ и $\Pi_2$ , то прямые и и изображения векторов ${\bf n}_1$ и ${\bf n}_2$ будут лежать в этой плоскости. Сделаем чертеж в плоскости $\Pi$ (возможны два варианта: рис. 11.7 и 11.8).

Рис.11.7.Угол между нормальными векторами острый

Рис.11.8.Угол между нормальными векторами тупой

В одном варианте (рис. 11.7) ${{\varphi}+{\alpha}=\frac{\pi}2}$ и ${\psi+{\alpha}=\frac{\pi}2}$ , следовательно, угол $\psi$ между нормальными векторами равен углу ${\varphi}$ , являющемуся линейным углом острого двугранного угла между плоскостями $\Pi_1$ и $\Pi_2$ .

Во втором варианте (рис. 11.8) ${\gamma}={\varphi}$ , а угол $\psi$ между нормальными векторами равен $\pi-{\gamma}$ . Так как

$\displaystyle \cos\psi=\cos(\pi-{\gamma})=-\cos{\gamma},$

то в обоих случаях ${\vert\cos\psi\vert=\cos{\varphi}}$ .

По определению скалярного произведения ${\bf n}_1{\bf n}_2=\vert{\bf n}_1\vert\cdot\vert{\bf n}_2\vert \cos\psi$ . Откуда

$\displaystyle \cos\psi=\frac{{\bf n}_1{\bf n}_2}{\vert{\bf n}_1\vert\cdot\vert{\bf n}_2\vert}$

и соответственно

$\displaystyle \cos{\varphi}=\frac{\vert{\bf n}_1{\bf n}_2\vert}{\vert{\bf n}_1\vert\cdot\vert{\bf n}_2\vert}.$

(11.4)

Так как координаты нормальных векторов известны, если заданы уравнения плоскостей, то полученная формула (11.4) позволяет найти косинус острого угла между плоскостями.

Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы. Получаем условие перпендикулярности плоскостей:

$\displaystyle {\bf n}_1{\bf n}_2=0.$

(11.5)

Если плоскости параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы. Получаем условие параллельности плоскостей

$\displaystyle {\bf n}_1=t{\bf n}_2,$

(11.6)

где -- любое число.

Интеграл Фурье Дифференциал функции Квантооптические явления

Высшая математика 1 семестр Конспекты 2 семестр Лекции 3 семестр
Примеры решения задач 4 семестр Вычисление Интегралов Математический анализ Аналитическая геометрия Элементарная математика Билеты к экзамену Учебник Mathematica Описание MATLAB Лекции по физике Электростатика Основы оптики Квантовая механика Нейтронная физика Электромагнитное взаимодействие Электрическое поле

Призматоид многогранник

Курс лекций по высшей математике

Угол между плоскостями