Уравнение плоскости

Уравнение плоскости

Пусть в трехмерном пространстве задана декартова прямоугольная система координат. Попробуем установить, какой вид может иметь уравнение плоскости. Для этого заметим, что все плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны друг другу.

Определение 11.2 Любая прямая, перпендикулярная плоскости, называется нормалью к плоскости, а любой ненулевой вектор на такой прямой мы будем называть нормальным вектором плоскости. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой

Замечание 11.1 Из определения видно, что нормальный вектор у фиксированной плоскости определяется не однозначно. Все нормальные векторы одной плоскости коллинеарны друг другу и поэтому получаются один из другого умножением на число, отличное от нуля.

Для того чтобы из параллельных плоскостей выбрать одну, достаточно задать точку, через которую проходит эта плоскость. Итак, если у плоскости известны нормальный вектор и точка, через которую она проходит, то плоскость определена однозначно.

Теорема 11.1 Пусть вектор ${\bf n}=(A,B,C),\quad{\bf n}\ne0,$ является нормальным вектором плоскости $\Pi$ , проходящей через точку . Тогда уравнение

$\displaystyle A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

(11.1)

является уравнением плоскости $\Pi$ .

Гексаэдр - правильный шестигранник Вычислим интеграл Математика Задачи Ортогональная система координат в пространстве Математическая модель

Доказательство. Пусть

-- некоторая точка плоскости $\Pi$ (рис. 11.1). Иногда говорят "текущая точка" плоскости, так как предполагается, что ее координаты меняются и точка пробегает всю плоскость.

Рис.11.1.

Вектор $\overrightarrow {M_0M}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ лежит на плоскости $\Pi$ . Следовательно, вектор $\overrightarrow {M_0M}$ ортогонален вектору n. Если же взять точку

, не лежащую на плоскости $\Pi$ , то вектор $\overrightarrow {M_0Q}$ не будет ортогональным вектору n. Так как условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения (свойство 8, теорема 10.2), то условием того, что точка

лежит в плоскости $\Pi$ , является выполнение равенства

$\displaystyle {\bf n}\cdot\overrightarrow {M_0M}=0.$

(11.2)

Выразив скалярное произведение в левой части этого равенства через координаты сомножителей по формуле (10.1), получим формулу (11.1).

Пусть r -- радиус-вектор текущей точки плоскости $\Pi$ , ${\bf r}_0$ -- радиус-вектор точки . Тогда уравнение (11.2) можно переписать в виде

$\displaystyle {\bf n}\cdot({\bf r}-{\bf r}_0)=0.$

Такое уравнение обычно называют векторным уравнением плоскости $\Pi$ .

Раскроем скобки в уравнении (11.1). Так как точка -- фиксированная, то выражение является числом, которое обозначим буквой . Тогда уравнение (11.1) принимает вид

$\displaystyle Ax+By+Cz+D=0.$

(11.3)

Такое уравнение называется общим уравнением плоскости. Еще раз отметим, что в этом уравнении хотя бы один из коэффициентов $A,\,B,\,C$ отличен от нуля, так как ${\bf n}\ne0$ .

Верно и обратное утверждение:

Теорема 11.2 Всякое уравнение (11.3), в котором $\vert A\vert+\vert B\vert+\vert C\vert\ne0$ , является уравнением плоскости, ортогональной вектору ${\bf n}=(A,B,C)$ .

Доказательство. Условие $\vert A\vert+\vert B\vert+\vert C\vert\ne0$ означает, что хотя бы одно из чисел $A,\,B,\,C$ , отлично от нуля. Пусть это будет, например, число

. Преобразуем уравнение (11.3) следующим образом:

$\displaystyle A(x-0)+B\left(y-\left(-\frac DB\right)\right)-C(z-0)=0.$

По теореме 11.1 такое уравнение является уравнением плоскости с нормальным вектором n, проходящей через точку $M_0\left(0;-\frac DB; 0\right)$ .

Теорема 11.1 позволяет написать уравнение плоскости, если известна точка этой плоскости и вектор, ортогональный плоскости. Однако, довольно часто встречаются задачи, где требуется получить уравнение плоскости, если известна точка, лежащая на ней, и два неколлинеарных вектора, лежащих или, что то же самое, параллельных плоскости. Покажем на примере, как решается такая задача.

Пример 11.1 Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через точку

и параллельной векторам ${\bf p}=(1;2;-1)$ и ${\bf q}=(-2;0;3)$ .

Решение. Векторное произведение ${\bf p}\times {\bf q}$ по определению 10.26 ортогонально векторам p и q. Следовательно, оно ортогонально искомой плоскости и вектор ${{\bf n}={\bf p}\times {\bf q}}$ можно взять в качестве ее нормального вектора. Найдем координаты вектора n:

$\displaystyle {\bf n}={\bf p}\times {\bf q}=\left\vert\begin{array}{rrr}{\bf i}... ...j}&{\bf k}\\ 1&2&-1\\ -2&0&3\end{array}\right\vert= 6{\bf i}-{\bf j}+4{\bf k},$

то есть ${\bf n}=(6;-1;4)$ . Используя формулу (11.1), получим

$\displaystyle 6(x-1)+(-1)(y-2)+4(z-(-2))=0.$

Раскрыв в этом уравнении скобки, приходим к окончательному ответу.

Ответ: .

Интеграл Фурье Дифференциал функции Квантооптические явления

Высшая математика 1 семестр Конспекты 2 семестр Лекции 3 семестр
Примеры решения задач 4 семестр Вычисление Интегралов Математический анализ Аналитическая геометрия Элементарная математика Билеты к экзамену Учебник Mathematica Описание MATLAB Лекции по физике Электростатика Основы оптики Квантовая механика Нейтронная физика Электромагнитное взаимодействие Электрическое поле

Призматоид многогранник

Курс лекций по высшей математике

Уравнение плоскости