Степенные ряды

  Степенные ряды

Определение. Степенным рядом по степеням  называется ряд вида:

  (40)

где  - действительные числа,  пробегает некоторый интервал. 

Числа  называются коэффициентами степенного ряда.

Если  то получим ряд по степеням х.

 (41)

1. Теорема Абеля

Если степенной ряд  сходится в точке , то он сходится абсолютно в интервале  и сходится равномерно на отрезке , где

Следствие. Если в точке  степенной ряд  расходится, то он расходится во всех точках , т. к.

Таким образом, всегда существует число R > 0 т. к. степенной ряд сходится абсолютно для всех  и расходятся для всех . В точках  ряд может как сходиться, так и расходиться.

Число  называется радиусом сходимости, а интервал  интервалом сходимости степенного ряда.

Для нахождения интервала сходимости степенного ряда используют достаточные признаки сходимости Даламбера и Коши (см. разделы II, V). Радиус сходимости можно найти по одной из следующих формул:

Пример 23. Найти интервал и радиус сходимости степенного ряда:

а)   b) 

Решение. 

а) 

Для нахождения интервала сходимости воспользуемся признаком Коши и вычислим предел

Ряд сходится, если предел меньше единицы, т.е.  

Решая полученное равенство, найдем интервал сходимости ряда:

В точках  получаем расходящийся ряд

Таким образом, область сходимости степенного ряда интервал , радиус сходимости 

b)  

Найдем радиус сходимости данного ряда, для этого воспользуемся формулой

Тогда 

Интервал сходимости ряда найдем, решив равенство:

В точке  имеем условно сходящийся ряд  а в точке - расходящийся гармонический ряд  Таким образом, область сходимости данного ряда есть полуинтервал , радиус сходимости  .

Замечание. Из теоремы Абеля и свойств равномерной сходимости рядов следует, что на интервале сходимости степенной ряд можно рассматривать как обыкновенный многочлен.

Ряды Тейлора и Маклорена

Рассмотрим некоторую функцию , определенную на интервале , и пусть . Допустим также, что функция  имеет в окрестности точки  производные любого порядка. Поставим функции  в соответствие степенной ряд, (окрестностью точки  называется любой интервал, содержащий эту точку ),

  (42)

0! = 1, n! = 1×2×3×4× ××× ×n, n Î N .

 

Такой ряд называется рядом Тейлора функции  в точке .

Если , то ряд Тейлор имеет вид:

  (43)

и называется рядом Маклорена.

Радиус сходимости ряда Тейлора может быть равен нулю или отличен от нуля. Причем, в последнем случае сумма ряда Тейлора может не совпадать с функцией. Если ряд Тейлора сходится к функции , для которой он составлен, то говорят, что  разложима в ряд Тейлора в окрестности точки .

Заметим, что частные суммы ряда Тейлора

представляют собой многочлены Тейлора функции  в точке . Если ряд сходится у функции , справедливо равенство

где  - многочлен Тейлора,  - остаточный член формулы Тейлора.

Напомним, что остаточный член формулы Тейлора может быть записан в одном из следующих видов:

  - форма Лагранжа,

  - форма Коши.

Имеет место необходимый и достаточный признак разложимости функции в ряд Тейлора.

Теорема 1. Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая в окрестности точки   функция  разлагается в ряд Тейлора в окрестности этой точки, необходимо и достаточно, чтобы

где   - остаточный член формулы Тейлора,

  Теорема 2. (Достаточный признак разложимости функции в ряд Тейлора). Если для  все производные функции , ограничены одной и той же константой М, то ряд Тейлора сходится к функции  в интервале   

 Теорема 3. Если степенной ряд по степеням сходится к функции  в окрестности точки , то он является рядом Тейлора функции   в окрестности этой точки.

Приведем примеры разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций:

 
Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач