Степенные ряды

Математика
Типовой расчет по математике
Функции нескольких переменных
Примеры вычисления интегралов
Кратные интегралы
Криволинейные и поверхностные интегралы
Физика лабораторные работы
Строение атомов
Явление электромагнитной индукции
Законы сохранения в механике
Понятие о внутреннем трении
Интерференция света
Оптическая пирометрия
Изучение цепи переменного тока
Ядерные реакторы
Ядерная физика
Электротехника
Лекции, лабораторные и примеры расчета из курсовой
Трехфазные трансформаторы
Постоянный ток
Сила и плотность тока
Электрическая емкость. Конденсаторы
Закон Ома для замкнутой цепи
Закон Ома для однородного участка цепи
Сопромат
Контрольная работа по сопромату
Методика решения задач
Дополнительные задачи на сдвиг
Сложное сопротивление
Действие динамических нагрузок
Начертательная геометрия
Начертательная геометрия
Построить три проекции призмы
Машиностроительное черчение
Метрические задачи
Обозначения шероховатости поверхности
Основы теории теней
Введение в черчение
Информатика
Архитектура персонального компьютера
Программное обеспечение персонального компьютера
Операционная система Windows
Типы локальных сетей
Система управления базами данных MS Access
Операционная система Linux
Техническое обслуживание компьютера
Инструменты для разборки и чистки
Переформатирование жесткого диска
Системы резервирования данных
Гарантийные обязательства и сервисное обслуживание
Программы для восстановления данных
Ланшафт, архитектура
Ландшафтная архитектура
История и стили в архитектуре
Орнаментальное искусство
Орнаменты древнего мира
Древнегреческое орнаментальное искусство
Орнаменты Классицизма, Ампира, Модерна
Художественные стили
Авангардизм
Модернизм
Романский стиль
Ампир
Рококо
Буддизм
Модерн
Готическое искусство
Арт-дизайн
Зарождение арт-дизайна в проектировании мебели
Общие черты и этапы развития культуры ХХ века
Изобразительное искусство и архитектура
Важнейшее искусство XX века – кино
Русская усадьба
Максим Горький в семейной родословной
Кандинский
МОНДРИАН, ПИТ
АБСТРАКЦИОНИЗМ
Суть дизайнерской деятельности
Создание дизайн-концепции
Приемы озеленения территорий
Зонирование сада
Камень для ландшафтного дизайна

  Степенные ряды

Определение. Степенным рядом по степеням  называется ряд вида:

  (40)

где  - действительные числа,  пробегает некоторый интервал. 

Числа  называются коэффициентами степенного ряда.

Если  то получим ряд по степеням х.

 (41)

1. Теорема Абеля

Если степенной ряд  сходится в точке , то он сходится абсолютно в интервале  и сходится равномерно на отрезке , где

Следствие. Если в точке  степенной ряд  расходится, то он расходится во всех точках , т. к.

Таким образом, всегда существует число R > 0 т. к. степенной ряд сходится абсолютно для всех  и расходятся для всех . В точках  ряд может как сходиться, так и расходиться.

Число  называется радиусом сходимости, а интервал  интервалом сходимости степенного ряда.

Для нахождения интервала сходимости степенного ряда используют достаточные признаки сходимости Даламбера и Коши (см. разделы II, V). Радиус сходимости можно найти по одной из следующих формул:

Пример 23. Найти интервал и радиус сходимости степенного ряда:

а)   b) 

Решение. 

а) 

Для нахождения интервала сходимости воспользуемся признаком Коши и вычислим предел

Ряд сходится, если предел меньше единицы, т.е.  

Решая полученное равенство, найдем интервал сходимости ряда:

В точках  получаем расходящийся ряд

Таким образом, область сходимости степенного ряда интервал , радиус сходимости 

b)  

Найдем радиус сходимости данного ряда, для этого воспользуемся формулой

Тогда 

Интервал сходимости ряда найдем, решив равенство:

В точке  имеем условно сходящийся ряд  а в точке - расходящийся гармонический ряд  Таким образом, область сходимости данного ряда есть полуинтервал , радиус сходимости  .

Замечание. Из теоремы Абеля и свойств равномерной сходимости рядов следует, что на интервале сходимости степенной ряд можно рассматривать как обыкновенный многочлен.

Ряды Тейлора и Маклорена

Рассмотрим некоторую функцию , определенную на интервале , и пусть . Допустим также, что функция  имеет в окрестности точки  производные любого порядка. Поставим функции  в соответствие степенной ряд, (окрестностью точки  называется любой интервал, содержащий эту точку ),

  (42)

0! = 1, n! = 1×2×3×4× ××× ×n, n Î N .

 

Такой ряд называется рядом Тейлора функции  в точке .

Если , то ряд Тейлор имеет вид:

  (43)

и называется рядом Маклорена.

Радиус сходимости ряда Тейлора может быть равен нулю или отличен от нуля. Причем, в последнем случае сумма ряда Тейлора может не совпадать с функцией. Если ряд Тейлора сходится к функции , для которой он составлен, то говорят, что  разложима в ряд Тейлора в окрестности точки .

Заметим, что частные суммы ряда Тейлора

представляют собой многочлены Тейлора функции  в точке . Если ряд сходится у функции , справедливо равенство

где  - многочлен Тейлора,  - остаточный член формулы Тейлора.

Напомним, что остаточный член формулы Тейлора может быть записан в одном из следующих видов:

  - форма Лагранжа,

  - форма Коши.

Имеет место необходимый и достаточный признак разложимости функции в ряд Тейлора.

Теорема 1. Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая в окрестности точки   функция  разлагается в ряд Тейлора в окрестности этой точки, необходимо и достаточно, чтобы

где   - остаточный член формулы Тейлора,

  Теорема 2. (Достаточный признак разложимости функции в ряд Тейлора). Если для  все производные функции , ограничены одной и той же константой М, то ряд Тейлора сходится к функции  в интервале   

 Теорема 3. Если степенной ряд по степеням сходится к функции  в окрестности точки , то он является рядом Тейлора функции   в окрестности этой точки.

Приведем примеры разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций:

 
Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач