1 семестр | 2 семестр | 3 семестр | 4 семестр | Мат. анализ ч1 | Мат. анализ ч2 |

Мат. анализ ч3 | Мат. анализ ч4 | Строение атомных ядер | Модели атомных ядер | Ядерные реакции | Термодинамика | Магнитое поле | Оптика | Механика Показательная форма комплексного числа

Интегралы Курс лекций по высшей математике начало

Инвариантность дифференциала

Пусть, как в предыдущем параграфе, $ {y=h(u)=f(g(u))=(f\circ g)(u)}$  -- сложная функция, в которой $ x_i=g_i(u)$  -- промежуточные переменные. Найдём и сравним друг с другом дифференциалы функций $ y=f(x)$ и $ y=h(u)$ , то есть дифференциалы величины $ y$ , вычисленные:
а) в предположении, что независимыми переменными служат $ x_1,\ \dots,\ x_n$ ;
б) в предположении, что независимыми переменными служат $ u_1,\dots,u_m$ .

В случае а) дифференциал равен

$\displaystyle dy= \frac{\partial f}{\partial x_1}(x)dx_1+ \frac{\partial f}{\... ...l f}{\partial x_n}(x)dx_n= \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)dx_i.$

В случае б) дифференциал, с учётом формулы для производной сложной функции, можно вычислить так:

$\displaystyle dy= \frac{\partial h}{\partial u_1}(u)du_1+ \frac{\partial h}{\... ...tial h}{\partial u_n}(u)du_n= \sum_{j=1}^m\frac{\partial h}{\partial u_j}du_j=$   
$\displaystyle =\sum_{j=1}^m\Bigl( \frac{\partial f}{\partial x_1}(g(u))\frac{\... ... \frac{\partial f}{\partial x_i}(g(u))\frac{\partial g_i}{\partial u_j}(u)du_j=$   
$\displaystyle =\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(g(u)) \Bigl( \su... ... dg_i(u;du)= \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(x(u)) dx_i(u;du).$   

Полученное выражение совпадает по виду с тем, что получено для $ dy$ в п. а). Разница лишь в том, что вместо дифференциалов независимых переменных $ x_i$ теперь стоят дифференциалы функций $ x_i=g_i(u)$ . Это свойство называется инвариантностью дифференциала. Оно свидетельствует о том, что формулу

$\displaystyle dy=\sum_{i=1}^n \frac{\partial y}{\partial x_i}(x) dx_i$

можно применять, не заботясь о том, являются ли $ x_i$ независимыми или же промежуточными переменными.


Интеграл Фурье Дифференциал функции Квантооптические явления
Высшая математика 1 семестр Конспекты 2 семестр Лекции 3 семестр
Примеры решения задач 4 семестр Вычисление Интегралов Математический анализ Аналитическая геометрия Элементарная математика Билеты к экзамену Учебник Mathematica Описание MATLAB Лекции по физике Электростатика Основы оптики Квантовая механика Нейтронная физика Электромагнитное взаимодействие Электрическое поле
Призматоид многогранник