Интегральный признак Коши

Математика
Типовой расчет по математике
Функции нескольких переменных
Примеры вычисления интегралов
Кратные интегралы
Криволинейные и поверхностные интегралы
Физика лабораторные работы
Строение атомов
Явление электромагнитной индукции
Законы сохранения в механике
Понятие о внутреннем трении
Интерференция света
Оптическая пирометрия
Изучение цепи переменного тока
Ядерные реакторы
Ядерная физика
Электротехника
Лекции, лабораторные и примеры расчета из курсовой
Трехфазные трансформаторы
Постоянный ток
Сила и плотность тока
Электрическая емкость. Конденсаторы
Закон Ома для замкнутой цепи
Закон Ома для однородного участка цепи
Сопромат
Контрольная работа по сопромату
Методика решения задач
Дополнительные задачи на сдвиг
Сложное сопротивление
Действие динамических нагрузок
Начертательная геометрия
Начертательная геометрия
Построить три проекции призмы
Машиностроительное черчение
Метрические задачи
Обозначения шероховатости поверхности
Основы теории теней
Введение в черчение
Информатика
Архитектура персонального компьютера
Программное обеспечение персонального компьютера
Операционная система Windows
Типы локальных сетей
Система управления базами данных MS Access
Операционная система Linux
Техническое обслуживание компьютера
Инструменты для разборки и чистки
Переформатирование жесткого диска
Системы резервирования данных
Гарантийные обязательства и сервисное обслуживание
Программы для восстановления данных
Ланшафт, архитектура
Ландшафтная архитектура
История и стили в архитектуре
Орнаментальное искусство
Орнаменты древнего мира
Древнегреческое орнаментальное искусство
Орнаменты Классицизма, Ампира, Модерна
Художественные стили
Авангардизм
Модернизм
Романский стиль
Ампир
Рококо
Буддизм
Модерн
Готическое искусство
Арт-дизайн
Зарождение арт-дизайна в проектировании мебели
Общие черты и этапы развития культуры ХХ века
Изобразительное искусство и архитектура
Важнейшее искусство XX века – кино
Русская усадьба
Максим Горький в семейной родословной
Кандинский
МОНДРИАН, ПИТ
АБСТРАКЦИОНИЗМ
Суть дизайнерской деятельности
Создание дизайн-концепции
Приемы озеленения территорий
Зонирование сада
Камень для ландшафтного дизайна

Интегральный признак Коши

Если неотрицательная, интегрируемая функция  на промежутке
  монотонно убывает, и члены ряда   имеют вид то ряд  и несобственный интеграл  сходятся или расходятся одновременно.

Пример 18. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд

Решение. Исследование данного ряда начнем с необходимого
признака сходимости: 

Таким образом, при  данный ряд расходится, т.к. нарушается необходимое условие сходимости.

Пусть . Рассмотрим 

Функция   монотонно убывает на промежутке . Найдем несобственный интеграл.

При 

 

Следовательно, обобщенный гармонический ряд сходится при  и расходится при .

2. Признак Даламбера (Д ‘Аламбера)

Пусть для ряда  существует предел

  (36)

тогда:

1) при l < 1, ряд  сходится;

2) при l > 1, ряд   расходится;

3) при l = 1, вопрос о сходимости данного ряда остается открытым.

Пример 19. Исследовать на сходимость ряд 

Решение. Общий член данного ряда имеет вид  

Тогда,  Найдем предел 

Следовательно, данный ряд сходится по признаку Д 'Аламбера.

3. Признак сравнения

Если для членов ряда  справедливо неравенство  то:

1) из сходимости ряда  следует сходимость ряда ;

2) из расходимости ряда  следует расходимость ряда .

4. Предельный признак сравнения

Пусть даны знакопеременные ряды . Если существует конечный и отличный от нуля , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

При использовании признаков сравнения (III, IV) в каждом конкретном случае необходимо найти соответствующий вспомогательный ряд, про который точно известно, сходится он или нет. В качестве таких рядов, используемых для сравнения, выбирают обычно:

Обобщенный гармонический ряд  сходится при  и расходится при ;

Ряд, из элементов геометрической прогрессии  сходящийся при  и расходящийся при .

Пример 20. Исследовать на сходимость ряд 

Решение. Рассмотрим ряд с общим членом . Этот ряд сходится, т.к. является обобщенным гармоническим рядом при .

Найдем

Ряд  сходится, так как сходится ряд  .

5. Предельный признак Коши

Пусть для ряда  существует предел

  (37)

 Тогда 

1) при l  < 1 ряд  сходится;

2) при l > 1 ряд   расходится;

3) при l = 1 вопрос о сходимости данного ряда остается открытым.

Пример 21. Исследовать сходимость ряда 

Решение. Общий член данного ряда имеет вид . Найдем

Следовательно, ряд сходится.

В этом примере был использован второй замечательный предел

Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными. Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды, т. е. такие ряды, все члены которых поочередно меняют знак.

Знакочередующийся ряд может быть записан так 

 (38)

Пусть дан знакопеременный ряд  Тогда ряд, составленный из модулей членов данного ряда  , является знакоположительным рядом.

Теорема. Если сходится ряд , то сходится и ряд 

Для знакочередующегося ряда  имеет место следующая теорема (признак Лейбница):

Если член знакочередующегося ряда (38) удовлетворяет условиям:

  2)  

то ряд сходится, а его сумма S не превосходит первого члена, т.е. .

Определение. Если сходится ряд , то ряд  называется абсолютно сходящимся. Если ряд  сходится, а ряд расходится, то ряд  называется условно сходящимся.

 

 
Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач