Интегральный признак Коши

Интегральный признак Коши

Если неотрицательная, интегрируемая функция  на промежутке
  монотонно убывает, и члены ряда   имеют вид то ряд  и несобственный интеграл  сходятся или расходятся одновременно.

Пример 18. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд

Решение. Исследование данного ряда начнем с необходимого
признака сходимости: 

Таким образом, при  данный ряд расходится, т.к. нарушается необходимое условие сходимости.

Пусть . Рассмотрим 

Функция   монотонно убывает на промежутке . Найдем несобственный интеграл.

При 

 

Следовательно, обобщенный гармонический ряд сходится при  и расходится при .

2. Признак Даламбера (Д ‘Аламбера)

Пусть для ряда  существует предел

  (36)

тогда:

1) при l < 1, ряд  сходится;

2) при l > 1, ряд   расходится;

3) при l = 1, вопрос о сходимости данного ряда остается открытым.

Пример 19. Исследовать на сходимость ряд 

Решение. Общий член данного ряда имеет вид  

Тогда,  Найдем предел 

Следовательно, данный ряд сходится по признаку Д 'Аламбера.

3. Признак сравнения

Если для членов ряда  справедливо неравенство  то:

1) из сходимости ряда  следует сходимость ряда ;

2) из расходимости ряда  следует расходимость ряда .

4. Предельный признак сравнения

Пусть даны знакопеременные ряды . Если существует конечный и отличный от нуля , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

При использовании признаков сравнения (III, IV) в каждом конкретном случае необходимо найти соответствующий вспомогательный ряд, про который точно известно, сходится он или нет. В качестве таких рядов, используемых для сравнения, выбирают обычно:

Обобщенный гармонический ряд  сходится при  и расходится при ;

Ряд, из элементов геометрической прогрессии  сходящийся при  и расходящийся при .

Пример 20. Исследовать на сходимость ряд 

Решение. Рассмотрим ряд с общим членом . Этот ряд сходится, т.к. является обобщенным гармоническим рядом при .

Найдем

Ряд  сходится, так как сходится ряд  .

5. Предельный признак Коши

Пусть для ряда  существует предел

  (37)

 Тогда 

1) при l  < 1 ряд  сходится;

2) при l > 1 ряд   расходится;

3) при l = 1 вопрос о сходимости данного ряда остается открытым.

Пример 21. Исследовать сходимость ряда 

Решение. Общий член данного ряда имеет вид . Найдем

Следовательно, ряд сходится.

В этом примере был использован второй замечательный предел

Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными. Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды, т. е. такие ряды, все члены которых поочередно меняют знак.

Знакочередующийся ряд может быть записан так 

 (38)

Пусть дан знакопеременный ряд  Тогда ряд, составленный из модулей членов данного ряда  , является знакоположительным рядом.

Теорема. Если сходится ряд , то сходится и ряд 

Для знакочередующегося ряда  имеет место следующая теорема (признак Лейбница):

Если член знакочередующегося ряда (38) удовлетворяет условиям:

  2)  

то ряд сходится, а его сумма S не превосходит первого члена, т.е. .

Определение. Если сходится ряд , то ряд  называется абсолютно сходящимся. Если ряд  сходится, а ряд расходится, то ряд  называется условно сходящимся.

 

 
Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач