Магнитное поле, колебания, волны

Магнитное поле, колебания, волны

Решение задачи 11.

Плотность тока в ленте равна , с другой стороны, , где  – средняя скорость движения носителей заряда в ленте. На элементарный заряд  действует магнитная сила Лоренца , и электрическая сила ,  где  – напряженность электрического поля в ленте. Из равенства  следует, что , но, как найдено выше, . Следовательно, .

Решение задачи 12.

На элемент кольца длиной , опирающийся на центральный угол  действует сила Ампера , которая направлена вдоль радиуса кольца и приложена к середине элемента кольца. Эта сила уравновешивается усилиями , возникающими в кольце. Составляем уравнения равновесия элемента кольца в проекции на направление силы :

, учитывая, что элемент кольца и угол  малы, получаем , или , откуда

Решение задачи 13.

Если тело массой  находится в покое, то приложенная к нему сила тяжести уравновешивается силой электростатического отталкивания зарядов . Пусть тело получает смещение  из положения равновесия, тогда на него будет действовать возвращающая сила, величина которой определяется из уравнения . Считая смещение малым, находим : .

Используя формулы приближенных вычислений, получаем

, где  – «коэффициент жесткости». Тогда угловая частота колебаний шарика равна .

Решение задачи 14.

Для первого типа колебаний суммарная энергия колеблющейся молекулы равна

, где  – масса атомов кислорода,  – их скорость,  – жесткость валентной связи кислорода и углерода. Рассмотрим второй тип колебаний. Пусть атомы кислорода смещаются вправо на расстояние , а атом углерода смещается влево на расстояние . Так как положение центра масс молекулы CO2 остается неизменным, то , откуда , где  – масса атома углерода. Суммарная энергия колеблющейся молекулы при втором типе колебаний равна

, (1)

где  – скорость атома углерода. Поскольку , выражение для  можно переписать в виде

. (2)

Сравнивая выражения (1) и (2) с энергией колеблющегося пружинного маятника , заключаем, что угловая частота первого типа колебаний равна , а частота колебаний второго типа равна

, откуда искомое отношение частот равно 

. Подставляя численные значения:  а.е.м.,  а.е.м., получаем .

Решение задачи 15.

Представим волны в виде векторов длинами  и , имеющих в начальный момент времени (когда фаза   равна нулю) углы  и  с положительным направлением оси . Тогда проекции напряженности электрического поля суммарной волны на оси  и  равны , . Амплитуда суммарной волны равна

 , или .

Фаза суммарного колебания в начальный момент времени равна . В произвольный момент времени к этой начальной фазе необходимо добавить текущую фазу .

Оптика

Решение задачи 16.

Луч света от монеты падает на нижнюю грань куба под углом , преломляется на нижней грани под углом , падает на боковую грань под углом  и выходит из боковой грани под углом . Монета перестает быть видна, если , но тогда , а это отвечает показателю преломления .

Решение задачи 17.

Обозначим расстояние от линзы до источника света при первом и втором ее положении через , , и от линзы до экрана – через  и . Тогда , . Используя формулу линзы для ее первого и второго положения, получаем

, . Отсюда , или . Исключая из последнего выражения , , , получаем , откуда . Далее, , и фокусное расстояние линзы равно .

Решение задачи 18.

При малом угле падения  угол преломления равен . Из чертежа находим, что , тогда , следовательно, , и . Тогда угол отклонения первоначального луча равен .

Решение задачи 19.

Плосковыпуклая линза с отражающим слоем, нанесенным на плоскую поверхность, эквивалентна двум сложенным вместе по плоской поверхности исходным линзам. У такой линзы в соответствии с формулой , где  – показатель преломления материала линзы, ,   – радиусы кривизны ее поверхностей, оптическая сила удвоится, а фокусное расстояние уменьшится в 2 раза.

Решение задачи 20.

Для незаряженного шарика уравнение фотоэффекта имеет вид , где  – постоянная Планка,  – частота света для красной границы фотоэффекта незаряженного шарика,  – работа выхода электрона при фотоэффекте. Если шарик заряжен, то уравнение фотоэффекта изменяется: . Следовательно, частота красной границы фотоэффекта изменится на величину . Последнее равенство применимо, только, если , при  из приведенных расчетов следует абсурдный вывод, что электроны будут самопроизвольно покидать шарик. Именно поэтому в условии задачи говорится о малом заряде , вызывающем малое изменение частоты .

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач