. Значит, при достаточно хорошей
симметрии поле всегда может быть найдено вот из этой интегральной теоремы. Ну,
у нас это первое уравнение Максвелла. А теперь частные случаи.|
|
Метод контурных токов Основы электротехники выполнение курсовой
Поля, создаваемые распределениями зарядов с хорошей симметрией
Ну
и сразу такое определение: при достаточно хорошей
симметрии напряжённость поля может быть найдена из уравнения . Значит, при достаточно хорошей
симметрии поле всегда может быть найдено вот из этой интегральной теоремы. Ну,
у нас это первое уравнение Максвелла. А теперь частные случаи.
1) Центральная (сферическая) симметрия. Пусть плотность заряда 
есть 
. Значит, плотность, которая, вообще, функция
координат точки 
, зависит только от 
, то есть только от расстояния до начала
координат, это означает, что начало координат – центр симметрии. Вот эта формулка
= означает, что плотность на любой
сфере радиуса r
– константа, какая-то там плотность, ну, и отличная от нуля, на любой сфере
она постоянна. Это означает, что распределение обладает сферической симметрией,
и создаваемое им поле будет также обладать сферической симметрией. Отсюда следует,
что 
(потенциал как
функция точки) это есть 
. Отсюда эквипотенциальные поверхности – сферы
с центром в начале координат, то есть вот на любой сфере потенциал – константа. Отсюда далее следует, что
силовые линии поля, которые являются всегда ортогональными к эквипотенциальным
поверхностям, силовые линии поля – вот такие радиальные лучи:
Конструкция электрического поля может быть только такая. А теперь заметьте, здесь никакой специфики электричества не было, все эти выводы получены только из соображений симметрии. Любое векторное поле имело бы такую структуру, какая бы физическая природа у него ни была. Только сила соображения симметрии очень часто позволяет делать выводы безотносительно к конкретному предмету разговора.
=, отсюда дальше следует, что напряжённость поля на
любой сфере 
может
быть представлен так: 
.
Вот это 
, радиус-вектор,
делённый на собственный модуль, есть единичный вектор 
в направлении радиус-вектора.
Всё. Пишем дальше эту формулу . В качестве замкнутой поверхности, которая фигурирует
в интеграле (поток вычисляется по замкнутой поверхности), выбираем сферу 
.
Мы её (поверхность) можем брать любой, равенство от этого не зависит, но удобно
взять 
. Пишем: 
. Это равенство вследствие того,
что 
, -
единичный вектор в направлении радиус-вектора (это вектор нормали к сфере, но
нормаль к сфере в данной точке совпадает по направлению с радиус-вектором данной
точки, эти векторы параллельны), а проекция радиус-вектора на самого себя –
это его модуль, конечно, 
.
Дальше, во всех точках
сферы одно и тоже, выносим за знак интеграла: 
(вот это всё была математика, она к физике
никакого отношения пока не имела, а физика – это следующее равенство), эта величина
должна равняться интегралу от плотности заряда по объёму сферы, по которой вычисляется
поток (интеграл от плотности по объёму это есть полный заряд внутри сферы):
, где 
– заряд внутри сферы радиуса .
И это утверждение верно для сферы любого радиуса. Отсюда вывод – при центральной
симметрии напряжённость поля во всех точках сферы радиуса равна:
,
где - единичный вектор нормали к сфере. Эта формула,
одна единственная, добивает все задачи центральной симметрии. Проблема одна
– найти заряд, который находится внутри данной сферы, ну, это не очень тяжёлая
проблема.
Можем
немножко продолжить это дело. Вследствие того, что на любой сфере , интеграл по объёму можно свести,
в принципе, к однократному интегралу, интегрируя по шаровым слоям, ну, напишу
тут без подробных комментариев 
. Вот это 
объём шарового слоя радиуса 
толщиной 
. Почему я тут штрихи поставил,
понятно. стоит в
верхнем пределе интеграла, ну тогда, чтоб не путать переменную интегрирования
с верхним пределом, там я вместо пишу . Значит, если вот эта функция 
предъявлена, то такой интеграл
вычисляется. Так, всё, с центральной симметрией конец. Второй случай.
Интеграл
Фурье Дифференциал функции
Квантооптические явления
|