Задачи по курсу Ядерная и нейтронная физика

Задача 3.6 Получить формулу (3.6).

Решение

Из формулы (3.3) получаем выражение для вычисления энергии реакции:

Q = T2 –T1 =M1 – M2,

(3.6.1)

где Т₁ = T_а + T_А и М₁ =  m_а + М_А, Т₂ = m_b + М_B и М₂ = m_b + М_B, – суммарные кинетические энергии и суммарные энергии покоя частиц до и после реакции, которое имеет место в любой инерциальной системе отсчета. Определим порог реакции как минимальное значение кинетической энергии (Т_а)_пор налетающей частицы а (частица А покоится!) в ЛСК, при которой кинетические энергии образовавшихся частиц b и В равна нулю в СЦИ. Для решения задачи удобно воспользоваться релятивистским инвариантом

Е² – Р²с² = inv,

который сохраняется для любой изолированной системы в любой инерциальной системе отсчета. Здесь Е = М +Т и Р – полная энергия и импульс произвольной системы тел, взаимодействующих только между собой. Инвариант системы до реакции при пороговой энергии (Т_а)_пор в ЛСК:

inv = [M1+ (Та)пор]2 - ,

(3.6.2)

но

+ m_а² == [m_а + (Т_а)_пор]²,

откуда

= + 2m_а·(Т_а)_пор.

Подставляя полученное выражение в (3.2) и выполняя необходимые преобразования, получим:

inv = M12 + 2 Mа2·(Та)пор.

(3.6.3)

Инвариант для частиц с энергией покоя М₂, образовавшихся в результате эндоэнергетической реакции, в СЦИ будет равет:

inv = M22 ,

(3.6.4)

так как их кинетическая энергия в СЦИ при пороговой кинетической энергии (Т_а)_пор равна нулю.

Приравнивая инварианты (3.6.3) и (3.6.4), получим

(Та)пор= (M22 - M1)2/ 2MАс2= = (M2 - M12) (M1+ M2) / 2MА= =  (M2 - M1) (M1+ M2 + M1 - M1)/ 2MА =  = (M2 – M1) [2M1+ (M2 - M1)]/2MА = = |Q| +,

(3.6.5)

так как согласно (3.6.1) (M₂ – M₁) = |Q|. Второе слагаемое в (3.6.5) при |Q| < 100 МэВ ничтожно мало по сравнению с первым, и поэтому

(Та)пор=  |Q|.

(3.6.6)

Однако оно становиться значимым при расчете пороговой энергии ядерных реакций, приводящих к рождению барионов и гиперонов.

Решим эту же задачу, используя законы классической (не релятивистской) механики. Законы сохранения энергии и импульса при пороговом значении кинетической энергии налетающей в ЛСК частицы а:

(Та)пор = |Q|+ Т2;	(3.6.7)
Ра = Р2.	(3.6.8)

Т₂ и Р₂ определяют движение центра инерции образовавшихся частиц, так как их взаимная кинетичечкая энергия равна нулю при Т_а = (Т_а)_пор. Используем классическую связь между импульсом и кинетической энергией

,

(3.6.9)

так как полагаем, что зависимостью массы системы от скорости можно пренебречь и поэтому скорости движения частиц много меньше скорости света. Действительно, даже если кинетическая энергия (Т_а)_пор налетающей частицы а полностью переходит во внутреннюю энергию и изменяет массу системы, то

ΔМ = М₂ – М₁ ≤ (Т_а)_пор,

так как (Т_а)_пор << М₁, при энергиях налетающих частиц менее 100 МэВ. Поэтому, при кинематических расчетах в нерялитивистском случае можно считать, что

М2 = М1.

(3.6.10)

Тогда, из (3.6.1), (3.6.8) и (3.6.9) получаем

(Та)пор = |Q| + (Та)пор =  ,

(3.6.11)

Или, учитывая (3.6.10),

(Та)пор  =  .

(3.6.12)

Полученная формула (3.6.12) является приближенной и ее отличие от точной формулы (3.6.5) вызвано пренебрежением релятивистским изменением массы.

Основные характеристики ядер

Законы радиоактивного распада

Задачи на тему Законы радиоактивного распада

Взаимодействие нейтронов с ядрами Молекулярная физика Справочник по основным разделам физики

Задачи на ядерные реакции

Деление и синтез ядер

Решение задач по ядерной физике