Виды проецирования

Векторная алгебра Аналит. геометрия | Диф. уравнения |Широковещательные сети и протоколы Элемен. математика | ТФКП | Билеты | Mathematica | MATLAB | Maple 7 | Вычислим интеграл Выпуклость функции Быстрое нанесение размеров

1 семестр | 2 семестр | 3 семестр | 4 семестр | Мат. анализ ч1 | Мат. анализ ч2 | Мат. анализ ч3 | Мат. анализ ч4 | Строение атомных ядер | Модели атомных ядер | Ядерные реакции | Термодинамика | Магнитое поле | Оптика | Механика Показательная форма комплексного числа

Дифференциальные уравнения, ряды - курс лекций

  С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.

  Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида:

 Если все коэффициенты и правая часть этого уравнения разлагаются в сходящиеся в некотором интервале степенные ряды, то существует решение этого уравнения в некоторой малой окрестности нулевой точки, удовлетворяющее начальным условиям.

  Это решение можно представить степенным рядом:

 Для нахождения решения остается определить неизвестные постоянные c_i.

Эта задача решается методом сравнения неопределенных коэффициентов. Записанное выражение для искомой функции подставляем в исходное дифференциальное уравнение, выполняя при этом все необходимые действия со степенными рядами (дифференцирование, сложение, вычитание, умножение и пр.)

  Затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях уравнения. В результате с учетом начальных условий получим систему уравнений, из которой последовательно определяем коэффициенты c_i.

  Отметим, что этот метод применим и к нелинейным дифференциальным уравнениям.

  Пример. Найти решение уравнения c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0.

Решение уравнения будем искать в виде

  Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:

Отсюда получаем:

 ………………

Получаем, подставив начальные условия в выражения для искомой функции и ее первой производной:

Окончательно получим:  

Итого:

  Существует и другой метод решения дифференциальных уравнений с помощью рядов. Он носит название метод последовательного дифференцирования. 

  Рассмотрим тот же пример. Решение дифференциального уравнения будем искать в виде разложения неизвестной функции в ряд Маклорена.

 Если заданные начальные условия y(0)=1, y’(0)=0  подставить в исходное дифференциальное уравнение, получим, что

  Далее запишем дифференциальное уравнение в виде  и будем последовательно дифференцировать его по х.

 После подстановки полученных значений получаем: