|
|
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:
Если такое соотношение
преобразовать к виду 
то это дифференциальное уравнение первого порядка
будет называться уравнением, разрешенным относительно производной.
Преобразуем такое выражение далее:
Функцию
f(x,y) представим в виде: 
тогда при подстановке в полученное
выше уравнение имеем:
- это так называемая дифференциальная форма уравнения первого порядка.
Далее рассмотрим подробнее типы уравнений первого порядка и методы их решения.
Уравнения вида y’ = f(x).
Пусть функция f(x) – определена и непрерывна на некотором интервале
a < x < b. В таком случае все решения данного дифференциального
уравнения находятся как 
. Если заданы начальные условия х0 и у0,
то можно определить постоянную С.
Определение. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными,
если его можно записать в виде
.
Такое уравнение можно представить также в виде:
Перейдем
к новым обозначениям 
Получаем:
После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: 
Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям
- это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения.
Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х.
- верно
Пример. Найти решение дифференциального уравнения 
при условии у(2) = 1.
при
у(2) = 1 получаем 
Итого:
или 
- частное решение;
Проверка: 
, итого
- верно.
Пример. Решить уравнение 
- общий интеграл
- общее
решение
Пример. Решить уравнение 
Пример. Решить уравнение 
при условии у(1) = 0.
Интеграл, стоящий в левой части будем брать по частям
Если у(1) = 0,
то 
Итого, частный интеграл: 
.
Пример. Решить уравнение 
.
Для нахождения интеграла, стоящего в левой части уравнения см. Получаем общий интеграл:
Пример. Решить уравнение 
Преобразуем заданное уравнение:
Получили общий
интеграл данного дифференциального уравнения. Если из этого соотношения выразить
искомую функцию у, то получим общее решение.
Пример. Решить уравнение 
.
; 
;
Допустим, заданы некоторые начальные условия х0 и у0. Тогда:
Получаем
частное решение 
Интеграл
Фурье Дифференциал функции
Квантооптические явления
|