Числовые ряды

Математика
Типовой расчет по математике
Функции нескольких переменных
Примеры вычисления интегралов
Кратные интегралы
Криволинейные и поверхностные интегралы
Физика лабораторные работы
Строение атомов
Явление электромагнитной индукции
Законы сохранения в механике
Понятие о внутреннем трении
Интерференция света
Оптическая пирометрия
Изучение цепи переменного тока
Ядерные реакторы
Ядерная физика
Электротехника
Лекции, лабораторные и примеры расчета из курсовой
Трехфазные трансформаторы
Постоянный ток
Сила и плотность тока
Электрическая емкость. Конденсаторы
Закон Ома для замкнутой цепи
Закон Ома для однородного участка цепи
Сопромат
Контрольная работа по сопромату
Методика решения задач
Дополнительные задачи на сдвиг
Сложное сопротивление
Действие динамических нагрузок
Начертательная геометрия
Начертательная геометрия
Построить три проекции призмы
Машиностроительное черчение
Метрические задачи
Обозначения шероховатости поверхности
Основы теории теней
Введение в черчение
Информатика
Архитектура персонального компьютера
Программное обеспечение персонального компьютера
Операционная система Windows
Типы локальных сетей
Система управления базами данных MS Access
Операционная система Linux
Техническое обслуживание компьютера
Инструменты для разборки и чистки
Переформатирование жесткого диска
Системы резервирования данных
Гарантийные обязательства и сервисное обслуживание
Программы для восстановления данных
Ланшафт, архитектура
Ландшафтная архитектура
История и стили в архитектуре
Орнаментальное искусство
Орнаменты древнего мира
Древнегреческое орнаментальное искусство
Орнаменты Классицизма, Ампира, Модерна
Художественные стили
Авангардизм
Модернизм
Романский стиль
Ампир
Рококо
Буддизм
Модерн
Готическое искусство
Арт-дизайн
Зарождение арт-дизайна в проектировании мебели
Общие черты и этапы развития культуры ХХ века
Изобразительное искусство и архитектура
Важнейшее искусство XX века – кино
Русская усадьба
Максим Горький в семейной родословной
Кандинский
МОНДРИАН, ПИТ
АБСТРАКЦИОНИЗМ
Суть дизайнерской деятельности
Создание дизайн-концепции
Приемы озеленения территорий
Зонирование сада
Камень для ландшафтного дизайна

Числовые ряды

Если каждому натуральному числу  поставлено в соответствие некоторое вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность.

Числовую последовательность обозначают

Число  называют -м членом последовательности, а формулу  - формулой общего члена последовательности.

Числовую последовательность можно рассматривать как числовую функцию, определенную на множестве натуральных чисел.

Пусть задана числовая последовательность

Определение. Выражение вида

 (32)

называется числовым рядом, числа  - членами ряда, а число  - общим (n-м) членом ряда.

Сумма конечного числа первых слагаемых числового ряда называется -й частичной суммой данного ряда

Таким образом, с каждым рядом связана последовательность частичных сумм

  (33)

Если последовательность  частичных сумм ряда (32) имеет конечный предел , то ряд называется сходящимся, а число
S - суммой данного ряда:

Если предел последовательности  не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся.

Выражение вида  называется n-м остатком ряда (32).

Для того чтобы ряд (32) сходился необходимо и достаточно, чтобы остаток ряда стремился к нулю при :

  (34)

Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то 

  (35)

Заметим, что из выполнения условия (35) не обязательно следует сходимость ряда (32). Но если условие (35) не выполняется, т. е. предел   при
 не равен нулю или не существует, то ряд (32) расходится.

Таким образом, можно сформулировать достаточный признак расходимости ряда: Если предел общего члена ряда не равен нулю или не существует, то ряд расходится.

Пример 16. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Общий член данного ряда

Найдем предел  при :

Следовательно, данный ряд расходится.

Свойства сходящихся числовых рядов сформулируем в виде теорем:

Теорема 1. Перестановка, отбрасывание или добавление конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость (расходимость.)

 Теорема 2. Если ряды  и  сходятся, и их суммы равны , соответственно, то ряд  также сходится и 

 Теорема 3. Если ряд  сходятся, и его сумма равна S, то ряд также сходится и

 

Пример 17. Рассмотрим ряд, составленный из элементов геометрической прогрессии со знаменателем 

Исследовать на сходимость ряд 

Решение. Найдем сумму первых членов ряда

Учитывая, что  найдем предел - ой частной суммы при :

 

Следовательно, данный ряд сходится при , и его сумма равна .

При   ряд имеет вид:  а

Тогда   поэтому ряд расходится.

При   получаем ряд:

Данный ряд расходится, так как последовательность частичных сумм:   не имеет предела.

Рассмотрим числовой ряд  с неотрицательными членами  и сформулируем достаточные признаки сходимости этого ряда.

 
Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач