Основные уравнения электростатики

Математика
Типовой расчет по математике
Функции нескольких переменных
Примеры вычисления интегралов
Кратные интегралы
Криволинейные и поверхностные интегралы
Физика лабораторные работы
Строение атомов
Явление электромагнитной индукции
Законы сохранения в механике
Понятие о внутреннем трении
Интерференция света
Оптическая пирометрия
Изучение цепи переменного тока
Ядерные реакторы
Ядерная физика
Электротехника
Лекции, лабораторные и примеры расчета из курсовой
Трехфазные трансформаторы
Постоянный ток
Сила и плотность тока
Электрическая емкость. Конденсаторы
Закон Ома для замкнутой цепи
Закон Ома для однородного участка цепи
Сопромат
Контрольная работа по сопромату
Методика решения задач
Дополнительные задачи на сдвиг
Сложное сопротивление
Действие динамических нагрузок
Начертательная геометрия
Начертательная геометрия
Построить три проекции призмы
Машиностроительное черчение
Метрические задачи
Обозначения шероховатости поверхности
Основы теории теней
Введение в черчение
Информатика
Архитектура персонального компьютера
Программное обеспечение персонального компьютера
Операционная система Windows
Типы локальных сетей
Система управления базами данных MS Access
Операционная система Linux
Техническое обслуживание компьютера
Инструменты для разборки и чистки
Переформатирование жесткого диска
Системы резервирования данных
Гарантийные обязательства и сервисное обслуживание
Программы для восстановления данных
Ланшафт, архитектура
Ландшафтная архитектура
История и стили в архитектуре
Орнаментальное искусство
Орнаменты древнего мира
Древнегреческое орнаментальное искусство
Орнаменты Классицизма, Ампира, Модерна
Художественные стили
Авангардизм
Модернизм
Романский стиль
Ампир
Рококо
Буддизм
Модерн
Готическое искусство
Арт-дизайн
Зарождение арт-дизайна в проектировании мебели
Общие черты и этапы развития культуры ХХ века
Изобразительное искусство и архитектура
Важнейшее искусство XX века – кино
Русская усадьба
Максим Горький в семейной родословной
Кандинский
МОНДРИАН, ПИТ
АБСТРАКЦИОНИЗМ
Суть дизайнерской деятельности
Создание дизайн-концепции
Приемы озеленения территорий
Зонирование сада
Камень для ландшафтного дизайна

Основные уравнения электростатики и их общее решение в бесконечном пространстве.

Уравнения электростатики получаются, если в общих уравнениях Максвелла частные производные по времени и плотность тока положить равными нулю:

Первое уравнение позволяет ввести потенциал

Тогда второе уравнение дает уравнение

которое называется уравнением Пуассона.

Фундаментальное значение имеет уравнение для потенциала точечного заряда

где -дельта функция. Прямой проверкой показывается, что его решение есть

Это решение называется фундаментальным и позволяет написать общий вид решения уравнения Пуассона для произвольной плотности

Первый интеграл описывает вклад объемного заряда с плотностью  и называется ньютоновским потенциалом. Второй интеграл описывает вклад поверхностных зарядов с плотностью и называется поверхностным потенциалом.

Используя связь потенциала и напряженности поля, получаем уравнение

Две последние формулы дают решение прямой задачи электростатики в бесконечном пространстве (определение поля по распределению заряда).

13. Прямые задачи электростатики в ограниченном пространстве.

Если пространство ограничено, то для определения единственного решения уравнения Пуассона необходимо указать граничное условие. Различают две задачи.

Задача Дирихле (на границе задан потенциал)

где -область, в которой поставлена задача, а -ее граница.

Задача Неймана (на границе задана нормальная производная потенциала)

Обе задачи имеют единственное решение.

14. Мультипольное разложение.

На расстояниях от системы точечных зарядов , много больших размеров системы, потенциал можно представить в виде сумму (разлагая в ряд Тейлора по малым ):

где

  (-полный заряд или мультиполь нулевого порядка),

 (-дипольный момент или мультиполь первого порядка),

 (-квадрупольный момент или мультиполь второго порядка).

15. Некоторые методы решения задач электростатики.

Метод изображений.

Пусть сформулирована задача электростатики, в которой на некоторой поверхности задан постоянный потенциал. Тогда к реально существующим зарядам добавляются заряды изображения, величина которых и расположение подбираются так, чтобы в новой задачи указанная поверхность имела заданный потенциал. Примеры отражение в плоскости, отражение в сфере и так далее.

Метод инверсии.

К методу изображений близок метод инверсии, который основан на математической теореме об инверсии. Пусть  есть потенциал системы зарядов расположенных в точках со сферическими координатами . Тогда

есть потенциал системы зарядов , расположенных в точках с координатами . Здесь -некоторое действительное число.

Теорема взаимности.

Пусть имеется система точечных зарядов . Тогда потенциалы каждого заряда равны

Пусть далее имеется другая система зарядов, в тех же точках. Тогда потенциалы равны

Умножим первое равенство на , второе на , оба просуммируем и вычтем одно из другого В результате получим

Нетрудно обобщить эту теорему и на неточечные проводники:

Если на проводниках  при зарядах ,потенциалы равны , а при зарядах,потенциалы равны ,тогда выполняется соотношение

16. Уравнения Лапласа в декартовой, цилиндрической и полярной системах координат.

Уравнением Лапласа называется уравнение

то есть это уравнение для потенциала при равной нулю плотности заряда.

Методом разделения переменных получается общий вид решения этого уравнения в различных системах координат.

В декартовой системе координат уравнение Лапласа имеет вид

В цилиндрической системе координат уравнение Лапласа имеет вид

В сферической системе координат уравнение Лапласа имеет вид

17. Уравнения теории для постоянных токов, граничные условия для токов.

В токостатике , но . Из уравнений Максвелла получаем

Отсюда следуют основные уравнения токостатики

Для постоянной удельной проводимости эти уравнения эквиалентны

Граничные условия для токов имеют вид

Задача токостатики в виде

Аналогична задаче электростатики .

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач