Основные уравнения электростатики

Основные уравнения электростатики и их общее решение в бесконечном пространстве.

Уравнения электростатики получаются, если в общих уравнениях Максвелла частные производные по времени и плотность тока положить равными нулю:

Первое уравнение позволяет ввести потенциал

Тогда второе уравнение дает уравнение

которое называется уравнением Пуассона.

Фундаментальное значение имеет уравнение для потенциала точечного заряда

где -дельта функция. Прямой проверкой показывается, что его решение есть

Это решение называется фундаментальным и позволяет написать общий вид решения уравнения Пуассона для произвольной плотности

Первый интеграл описывает вклад объемного заряда с плотностью  и называется ньютоновским потенциалом. Второй интеграл описывает вклад поверхностных зарядов с плотностью и называется поверхностным потенциалом.

Используя связь потенциала и напряженности поля, получаем уравнение

Две последние формулы дают решение прямой задачи электростатики в бесконечном пространстве (определение поля по распределению заряда).

13. Прямые задачи электростатики в ограниченном пространстве.

Если пространство ограничено, то для определения единственного решения уравнения Пуассона необходимо указать граничное условие. Различают две задачи.

Задача Дирихле (на границе задан потенциал)

где -область, в которой поставлена задача, а -ее граница.

Задача Неймана (на границе задана нормальная производная потенциала)

Обе задачи имеют единственное решение.

14. Мультипольное разложение.

На расстояниях от системы точечных зарядов , много больших размеров системы, потенциал можно представить в виде сумму (разлагая в ряд Тейлора по малым ):

где

  (-полный заряд или мультиполь нулевого порядка),

 (-дипольный момент или мультиполь первого порядка),

 (-квадрупольный момент или мультиполь второго порядка).

15. Некоторые методы решения задач электростатики.

Метод изображений.

Пусть сформулирована задача электростатики, в которой на некоторой поверхности задан постоянный потенциал. Тогда к реально существующим зарядам добавляются заряды изображения, величина которых и расположение подбираются так, чтобы в новой задачи указанная поверхность имела заданный потенциал. Примеры отражение в плоскости, отражение в сфере и так далее.

Метод инверсии.

К методу изображений близок метод инверсии, который основан на математической теореме об инверсии. Пусть  есть потенциал системы зарядов расположенных в точках со сферическими координатами . Тогда

есть потенциал системы зарядов , расположенных в точках с координатами . Здесь -некоторое действительное число.

Теорема взаимности.

Пусть имеется система точечных зарядов . Тогда потенциалы каждого заряда равны

Пусть далее имеется другая система зарядов, в тех же точках. Тогда потенциалы равны

Умножим первое равенство на , второе на , оба просуммируем и вычтем одно из другого В результате получим

Нетрудно обобщить эту теорему и на неточечные проводники:

Если на проводниках  при зарядах ,потенциалы равны , а при зарядах,потенциалы равны ,тогда выполняется соотношение

16. Уравнения Лапласа в декартовой, цилиндрической и полярной системах координат.

Уравнением Лапласа называется уравнение

то есть это уравнение для потенциала при равной нулю плотности заряда.

Методом разделения переменных получается общий вид решения этого уравнения в различных системах координат.

В декартовой системе координат уравнение Лапласа имеет вид

В цилиндрической системе координат уравнение Лапласа имеет вид

В сферической системе координат уравнение Лапласа имеет вид

17. Уравнения теории для постоянных токов, граничные условия для токов.

В токостатике , но . Из уравнений Максвелла получаем

Отсюда следуют основные уравнения токостатики

Для постоянной удельной проводимости эти уравнения эквиалентны

Граничные условия для токов имеют вид

Задача токостатики в виде

Аналогична задаче электростатики .

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач