Общие преобразования Лоренца

Общие преобразования Лоренца.

С физической точки зрения преобразования Лоренца описывают преобразование координат события при переходе от одной инерциальной системы координат к другой инерциальной системе координат. С математической точки зрения это наиболее общий тип линейного преобразования, затрагивающего только координаты

и сохраняющего псевдоевклидово расстояние . Такие преобразования можно назвать вращениями в плоскости . В матричном виде преобразования Лоренца задаются формулой

где . Такие преобразования иногда называют также чистыми преобразованиями Лоренца или бустами. Если к бустам добавить обычные пространственные повороты в плоскостях  и их комбинации, а также отражения, то получим общие преобразования Лоренца. Например, поворот в плоскости на угол задается формулой

Общие преобразования Лоренца являются наиболее общими линейными преобразованиями, сохранящими псевдоевклидово расстояние. Далее общие преобразования Лоренца будем называть просто как преобразования Лоренца.

6. Четырехмерные векторы и тензоры.

Совокупность величин , которая при преобразованиях системы координат преобразуется также как координаты события называется контравариантными компонентами четырехмерного вектора, или коротко 4-вектором. При этом -называются временной компонентой, а пространственными компонентами, при этом часто используют запись вида:

Наряду с контравариантными компонентами вводят ковариантные компоненты формулами:

Квадрат величины (длина в квадрате) записывается в виде свертки:

Контравариантным четырехмерным тензором второго ранга называется совокупность 16-величин , которая при преобразованиях системы координат преобразуется как произведения компонент . Аналогично определяются тензора бролее высоких рангов, ковариантные и смешанные тензора. Поднимание и опускание индексов осущес твляется с помощью метрического тензора

7. Физические величины, являющиеся 4-векторами и 4-тензорами.

Четырехмерными векторами являются:

Радиус-вектор 

4-скорость 

4-импульс 

4-сила 

4-потенциал электромагнитного поля 

4-плотность тока 

4-оператор Гамильтона 

4-тензор электромагнитного поля

8. Уравнения динамики.

Уравнения динамики в трехмерной форме

Уравнения динамики в четырехмерной форме

Уравнения движения заряженной частицы в электромагнитном поле в трехмерной форме

В четырехмерной форме

9. Уравнения Максвелла (первая и вторая пары) в трехмерной форме.

10. Уравнения Максвелла в четырехмерной форме.

11. Уравнения Даламбера и калибровочная инавриантность.

Введем потенциалы электромагнитного поля

Для потенциалов из уравнения Максвелла получаем уравнения

если дополнительно на потенциалы наложить условие.

В четырехмерной форме эти уравнения записываются так

Физические величины  не изменятся, если потенциалы подвергнуть преобразованию

где  произвольная (дифференцируемая) функция. Это свойство называется калибровочной инвариантностью. Оно позволяет накладывать дополнительное условие на потенциалы с целью упрощения уравнений.

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач