|
|
Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора.
Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов.
Если при разложении в ряд взять достаточное количество слагаемых, то значение функции может быть найдено с любой наперед заданной точностью. Практически можно сказать, что для нахождения значения любой функции с разумной степенью точности (предполагается, что точность, превышающая 10 – 20 знаков после десятичной точки, необходима очень редко) достаточно 4-10 членов разложения в ряд.
Применение принципа разложения в ряд позволяет производить вычисления на ЭВМ в режиме реального времени, что немаловажно при решении конкретных технических задач.
Функция f(x) = ex.
С помощью двойного интеграла найти площадь фигуры, ограниченную заданными линиями.
Находим: f(x) = ex, f(0) = 1
f¢(x) = ex, f¢(0) = 1
……………………
f(n)(x) = ex, f(n)(0) = 1
Тогда:
Пример: Найдем значение числа е.
В полученной выше формуле положим х = 1.
Для 8 членов разложения: e = 2,71827876984127003
Для 10 членов разложения: e = 2,71828180114638451
Для 100 членов разложения: e = 2,71828182845904553
На графике показаны значения числа е с точностью в зависимости от числа членов разложения в ряд Тейлора.
Как видно, для достижения точности, достаточной для решения большинства практических задач, можно ограничиться 6-7 – ю членами ряда.
[an error occurred while processing this directive]
Интеграл
Фурье Дифференциал функции
Квантооптические явления
|
