Виды проецирования

Векторная алгебра Аналит. геометрия | Диф. уравнения |Широковещательные сети и протоколы Элемен. математика | ТФКП | Билеты | Mathematica | MATLAB | Maple 7 | Вычислим интеграл Выпуклость функции Быстрое нанесение размеров

1 семестр | 2 семестр | 3 семестр | 4 семестр | Мат. анализ ч1 | Мат. анализ ч2 | Мат. анализ ч3 | Мат. анализ ч4 | Строение атомных ядер | Модели атомных ядер | Ядерные реакции | Термодинамика | Магнитое поле | Оптика | Механика Показательная форма комплексного числа

Интегральное исчисление курс лекций ;;

;

Производные и дифференциалы функций нескольких переменных.

;

  Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение Dх к переменной х. Тогда величина D_xz = f( x + Dx, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.

;

  Можно записать

.

;;

  Тогда  называется частной производной функции z = f(x, y) по х.

Обозначение:

;

  Аналогично определяется частная производная функции по у.

;

 Геометрическим смыслом частной производной (допустим ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N₀(x₀, y₀, z₀) к сечению поверхности плоскостью у = у₀.

Полное приращение и полный дифференциал.

  Определение. Для функции f(x, y) выражение Dz = f( x + Dx, y + Dy) – f(x, y) называется полным приращением.

;

  Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные, то

 

Применим теорему Лагранжа к выражениям, стоящим в квадратных скобках.

здесь

;

  Тогда получаем

;

Т.к. частные производные непрерывны, то можно записать равенства:

;

  Определение. Выражение  называется полным приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где a₁ и a₂ – бесконечно малые функции при Dх ® 0 и Dу ® 0 соответственно.

  Определение: Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно Dх и Dу приращения функции Dz в точке (х, у).

;

  Для функции произвольного числа переменных:

;