Уравнение Бернулли

Математика
Типовой расчет по математике
Функции нескольких переменных
Примеры вычисления интегралов
Кратные интегралы
Криволинейные и поверхностные интегралы
Физика лабораторные работы
Строение атомов
Явление электромагнитной индукции
Законы сохранения в механике
Понятие о внутреннем трении
Интерференция света
Оптическая пирометрия
Изучение цепи переменного тока
Ядерные реакторы
Ядерная физика
Электротехника
Лекции, лабораторные и примеры расчета из курсовой
Трехфазные трансформаторы
Постоянный ток
Сила и плотность тока
Электрическая емкость. Конденсаторы
Закон Ома для замкнутой цепи
Закон Ома для однородного участка цепи
Сопромат
Контрольная работа по сопромату
Методика решения задач
Дополнительные задачи на сдвиг
Сложное сопротивление
Действие динамических нагрузок
Начертательная геометрия
Начертательная геометрия
Построить три проекции призмы
Машиностроительное черчение
Метрические задачи
Обозначения шероховатости поверхности
Основы теории теней
Введение в черчение
Информатика
Архитектура персонального компьютера
Программное обеспечение персонального компьютера
Операционная система Windows
Типы локальных сетей
Система управления базами данных MS Access
Операционная система Linux
Техническое обслуживание компьютера
Инструменты для разборки и чистки
Переформатирование жесткого диска
Системы резервирования данных
Гарантийные обязательства и сервисное обслуживание
Программы для восстановления данных
Ланшафт, архитектура
Ландшафтная архитектура
История и стили в архитектуре
Орнаментальное искусство
Орнаменты древнего мира
Древнегреческое орнаментальное искусство
Орнаменты Классицизма, Ампира, Модерна
Художественные стили
Авангардизм
Модернизм
Романский стиль
Ампир
Рококо
Буддизм
Модерн
Готическое искусство
Арт-дизайн
Зарождение арт-дизайна в проектировании мебели
Общие черты и этапы развития культуры ХХ века
Изобразительное искусство и архитектура
Важнейшее искусство XX века – кино
Русская усадьба
Максим Горький в семейной родословной
Кандинский
МОНДРИАН, ПИТ
АБСТРАКЦИОНИЗМ
Суть дизайнерской деятельности
Создание дизайн-концепции
Приемы озеленения территорий
Зонирование сада
Камень для ландшафтного дизайна

Уравнение Бернулли

Определение. Уравнение вида

  (24)

называется уравнением Бернулли, где  и  - непрерывные функции от .

Замечание. При  получается линейное уравнение первого порядка относительно  и , а при  получается уравнение с разделяющимися переменными.

Уравнение Бернулли приводится к линейному следующим образом:

Разделим все члены уравнения (24) на 

(25)

Сделаем замену:

Тогда 

Подставим   в уравнение (25) вместо  

Умножим полученное уравнение на :

  (26)

Преобразованное уравнение (26) является линейным относительно
 и 

Решив его, найдем общий интеграл уравнения (26).

Далее, подставив , получим общее решение уравнения Бернулли (24). 

Замечание. При интегрировании уравнений Бернулли можно сразу применить подстановку ,  не преобразовывая их в линейные.

Пример 14. Решить задачу Коши

Решение.  Разделим уравнение на 

Получим уравнение Бернулли, т. к. в правую часть входит у и у',    .

Решение ищем в виде:

  (см. Замечание),

Подставим   и  в уравнение  получим

Вынесем за скобки u в первой степени

Полагая, что , имеем 

Запишем систему уравнений

Решая первое уравнение системы, найдем его частное решение.

Подставим   во второе уравнение системы и найдем её общее решение.

Интегрируя левую часть уравнения, получаем

Интеграл, стоящий в правой части равенства, найдем с помощью формулы интегрирования по частям  

Вычислим:

Окончательно получим

Умножим последнее равенство на (-1) и выразим из него функцию .

Тогда общий интеграл уравнения Бернулли имеет вид:

Воспользуемся начальными условиями у(1) = 1 и найдем .

Подставив  с = 0 в общее решение уравнения, найдем его частное решение:

 

 

Уравнение в полных дифференциалах

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида

  (27)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции , то есть

   (28)

Для того чтобы уравнение (27) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

  (29)

Нахождение общего решения уравнения

Если выполняется условие  (29), то уравнение (27) может быть записано в виде

Тогда общий интеграл этого уравнения имеет вид

  (30)

где  - произвольная постоянная.

Функция   может быть найдена, используя уравнения (28).

Интегрируя равенство  по  при фиксированном  и учитывая, что произвольная постоянная в этом случае может зависеть от , получим

  (31)

Затем, дифференцируя найденную функцию  по  и подставляя её в равенство , найдем .

Подставим функцию  в уравнение (31), получим , которая является общим интегралом уравнения (27) с точностью до произвольной постоянной.

Замечание. Для нахождения общего решения уравнения (27) можно было начать с интегрирования равенства  при фиксированном . Тогда постоянная интегрирования может зависеть от .

Пример 15. Решить уравнение

Решение.

Проверим условие (29): 

Следовательно, левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции  и решение будет иметь вид:

Воспользуемся условиями (28).

Тогда 

Проинтегрируем первое соотношение по х:

Затем продифференцируем  по :

Так как , то получим

Отсюда

Пусть  

Тогда  и общий интеграл уравнения имеет вид  

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач