Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли

Определение. Уравнение вида

  (24)

называется уравнением Бернулли, где  и  - непрерывные функции от .

Замечание. При  получается линейное уравнение первого порядка относительно  и , а при  получается уравнение с разделяющимися переменными.

Уравнение Бернулли приводится к линейному следующим образом:

Разделим все члены уравнения (24) на 

(25)

Сделаем замену:

Тогда 

Подставим   в уравнение (25) вместо  

Умножим полученное уравнение на :

  (26)

Преобразованное уравнение (26) является линейным относительно
 и 

Решив его, найдем общий интеграл уравнения (26).

Далее, подставив , получим общее решение уравнения Бернулли (24). 

Замечание. При интегрировании уравнений Бернулли можно сразу применить подстановку ,  не преобразовывая их в линейные.

Пример 14. Решить задачу Коши

Решение.  Разделим уравнение на 

Получим уравнение Бернулли, т. к. в правую часть входит у и у',    .

Решение ищем в виде:

  (см. Замечание),

Подставим   и  в уравнение  получим

Вынесем за скобки u в первой степени

Полагая, что , имеем 

Запишем систему уравнений

Решая первое уравнение системы, найдем его частное решение.

Подставим   во второе уравнение системы и найдем её общее решение.

Интегрируя левую часть уравнения, получаем

Интеграл, стоящий в правой части равенства, найдем с помощью формулы интегрирования по частям  

Вычислим:

Окончательно получим

Умножим последнее равенство на (-1) и выразим из него функцию .

Тогда общий интеграл уравнения Бернулли имеет вид:

Воспользуемся начальными условиями у(1) = 1 и найдем .

Подставив  с = 0 в общее решение уравнения, найдем его частное решение:

 

 

Уравнение в полных дифференциалах

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида

  (27)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции , то есть

   (28)

Для того чтобы уравнение (27) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

  (29)

Нахождение общего решения уравнения

Если выполняется условие  (29), то уравнение (27) может быть записано в виде

Тогда общий интеграл этого уравнения имеет вид

  (30)

где  - произвольная постоянная.

Функция   может быть найдена, используя уравнения (28).

Интегрируя равенство  по  при фиксированном  и учитывая, что произвольная постоянная в этом случае может зависеть от , получим

  (31)

Затем, дифференцируя найденную функцию  по  и подставляя её в равенство , найдем .

Подставим функцию  в уравнение (31), получим , которая является общим интегралом уравнения (27) с точностью до произвольной постоянной.

Замечание. Для нахождения общего решения уравнения (27) можно было начать с интегрирования равенства  при фиксированном . Тогда постоянная интегрирования может зависеть от .

Пример 15. Решить уравнение

Решение.

Проверим условие (29): 

Следовательно, левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции  и решение будет иметь вид:

Воспользуемся условиями (28).

Тогда 

Проинтегрируем первое соотношение по х:

Затем продифференцируем  по :

Так как , то получим

Отсюда

Пусть  

Тогда  и общий интеграл уравнения имеет вид  

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач