Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Математика
Типовой расчет по математике
Функции нескольких переменных
Примеры вычисления интегралов
Кратные интегралы
Криволинейные и поверхностные интегралы
Физика лабораторные работы
Строение атомов
Явление электромагнитной индукции
Законы сохранения в механике
Понятие о внутреннем трении
Интерференция света
Оптическая пирометрия
Изучение цепи переменного тока
Ядерные реакторы
Ядерная физика
Электротехника
Лекции, лабораторные и примеры расчета из курсовой
Трехфазные трансформаторы
Постоянный ток
Сила и плотность тока
Электрическая емкость. Конденсаторы
Закон Ома для замкнутой цепи
Закон Ома для однородного участка цепи
Сопромат
Контрольная работа по сопромату
Методика решения задач
Дополнительные задачи на сдвиг
Сложное сопротивление
Действие динамических нагрузок
Начертательная геометрия
Начертательная геометрия
Построить три проекции призмы
Машиностроительное черчение
Метрические задачи
Обозначения шероховатости поверхности
Основы теории теней
Введение в черчение
Информатика
Архитектура персонального компьютера
Программное обеспечение персонального компьютера
Операционная система Windows
Типы локальных сетей
Система управления базами данных MS Access
Операционная система Linux
Техническое обслуживание компьютера
Инструменты для разборки и чистки
Переформатирование жесткого диска
Системы резервирования данных
Гарантийные обязательства и сервисное обслуживание
Программы для восстановления данных
Ланшафт, архитектура
Ландшафтная архитектура
История и стили в архитектуре
Орнаментальное искусство
Орнаменты древнего мира
Древнегреческое орнаментальное искусство
Орнаменты Классицизма, Ампира, Модерна
Художественные стили
Авангардизм
Модернизм
Романский стиль
Ампир
Рококо
Буддизм
Модерн
Готическое искусство
Арт-дизайн
Зарождение арт-дизайна в проектировании мебели
Общие черты и этапы развития культуры ХХ века
Изобразительное искусство и архитектура
Важнейшее искусство XX века – кино
Русская усадьба
Максим Горький в семейной родословной
Кандинский
МОНДРИАН, ПИТ
АБСТРАКЦИОНИЗМ
Суть дизайнерской деятельности
Создание дизайн-концепции
Приемы озеленения территорий
Зонирование сада
Камень для ландшафтного дизайна

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Линейными дифференциальными уравнениями первого порядка называются уравнения, линейные относительно неизвестной функции и её производной.

Линейное дифференциальное уравнение имеет вид:

  (20)

где  и  - непрерывные функции от .

Замечание 1.  и  входят в уравнение (20) только в первой степени.

Замечание 2.  или  могут быть постоянными числами, если же они одновременно являются константами, то уравнение (20) будет уравнением с разделяющимися переменными.

Пример 10. Рассмотрим дифференциальное уравнение

Решение. Полагая, что х ¹ 0, разделим обе части равнения на , получим

Перенесем слагаемое  в правую сторону, тогда

Данное уравнение является линейным, так как содержит у и у' только в первой степени,  

Замечание. В отдельных случаях дифференциальное уравнение нелинейное относительно   и  является линейным относительно  и . Такое уравнение имеет вид: 

  (21)

где  и   - непрерывные функции от или могут быть константами.

Пример 11. Определить тип уравнения

Решение. Это уравнение нелинейное относительно у и у'. Представим его в другом виде, воспользовавшись тем, что  тогда

Получили уравнение линейное относительно  и

 

Решение линейного уравнения  (20) (метод подстановки)

Решение уравнения (20) будем искать в виде произведения двух функций от 

Подставим  у и у' в уравнение (20):

  (22)

Собираем слагаемые при  в первой степени (можно при u):

Выберем функцию такой, чтобы множитель при  обращался в .

Таким образом, получим систему

Решая первое уравнение системы (уравнение с разделяющимися переменными относительно  и , найдем искомую функцию .

Так как одна из неизвестных функций  и  может быть выбрана произвольно, то в качестве  возьмем любое частное (ненулевое) решение уравнения , а в качестве  возьмем общее решение второго уравнения системы , в которое, прежде чем решать его, подставим найденную функцию .

Общее решение уравнения (20) запишем в виде , подставив найденные функции.

Замечание. Если в уравнении (22) сначала вынести общий множитель u в первой степени, то искомые функции найдем в обратном порядке, вначале , а потом .

Пример 12. Решить задачу Коши

Решение.  Данное уравнение линейно относительно у и у' .

Решение ищем в виде

Подставим  у и у' в уравнение

Вынесем   в первой степени за скобки

Полагаем , тогда

Таким образом, получим систему

Решаем первое уравнение системы,  Это уравнение с разделяющимися переменными.

Интегрируя полученное уравнение, имеем

(постоянную интегрирования при нахождении не вводим, т.к. достаточно найти любое (ненулевое) частное решение уравнения ).

Далее

Подставим   во второе уравнение системы и найдем :

Интегрируя, получим общее решение второго уравнения системы:

Таким образом, общее решение данного линейного уравнения имеет вид:

Найдем частное решение уравнения. Используя начальное условие   найдем с.

Подставив  и  в общее решение линейного уравнения, получим

Тогда частное решение линейного уравнения при  имеет вид:

Пример 13. Решить задачу Коши

Решение.  Данное уравнение нелинейно относительно и .

Преобразуем уравнение, воспользовавшись там, что :

Полученное уравнение линейно относительно  и .

Решение будем искать в виде

Тогда  

Подставим  и  в уравнение

Вначале решаем первое уравнение системы

- частное решение первого уравнения системы.

Подставим  во второе уравнение системы :

Вычислим отдельно каждый интеграл:

  

  

б)

Подставляя решение этих двух интегралов в , получим

Тогда, общее решение линейного дифференциального уравнения (23) имеет вид:

Воспользуемся начальными условиями  и найдем .

Тогда частное решение линейного уравнения (23) при  имеет вид:

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач