Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Линейными дифференциальными уравнениями первого порядка называются уравнения, линейные относительно неизвестной функции и её производной.

Линейное дифференциальное уравнение имеет вид:

  (20)

где  и  - непрерывные функции от .

Замечание 1.  и  входят в уравнение (20) только в первой степени.

Замечание 2.  или  могут быть постоянными числами, если же они одновременно являются константами, то уравнение (20) будет уравнением с разделяющимися переменными.

Пример 10. Рассмотрим дифференциальное уравнение

Решение. Полагая, что х ¹ 0, разделим обе части равнения на , получим

Перенесем слагаемое  в правую сторону, тогда

Данное уравнение является линейным, так как содержит у и у' только в первой степени,  

Замечание. В отдельных случаях дифференциальное уравнение нелинейное относительно   и  является линейным относительно  и . Такое уравнение имеет вид: 

  (21)

где  и   - непрерывные функции от или могут быть константами.

Пример 11. Определить тип уравнения

Решение. Это уравнение нелинейное относительно у и у'. Представим его в другом виде, воспользовавшись тем, что  тогда

Получили уравнение линейное относительно  и

 

Решение линейного уравнения  (20) (метод подстановки)

Решение уравнения (20) будем искать в виде произведения двух функций от 

Подставим  у и у' в уравнение (20):

  (22)

Собираем слагаемые при  в первой степени (можно при u):

Выберем функцию такой, чтобы множитель при  обращался в .

Таким образом, получим систему

Решая первое уравнение системы (уравнение с разделяющимися переменными относительно  и , найдем искомую функцию .

Так как одна из неизвестных функций  и  может быть выбрана произвольно, то в качестве  возьмем любое частное (ненулевое) решение уравнения , а в качестве  возьмем общее решение второго уравнения системы , в которое, прежде чем решать его, подставим найденную функцию .

Общее решение уравнения (20) запишем в виде , подставив найденные функции.

Замечание. Если в уравнении (22) сначала вынести общий множитель u в первой степени, то искомые функции найдем в обратном порядке, вначале , а потом .

Пример 12. Решить задачу Коши

Решение.  Данное уравнение линейно относительно у и у' .

Решение ищем в виде

Подставим  у и у' в уравнение

Вынесем   в первой степени за скобки

Полагаем , тогда

Таким образом, получим систему

Решаем первое уравнение системы,  Это уравнение с разделяющимися переменными.

Интегрируя полученное уравнение, имеем

(постоянную интегрирования при нахождении не вводим, т.к. достаточно найти любое (ненулевое) частное решение уравнения ).

Далее

Подставим   во второе уравнение системы и найдем :

Интегрируя, получим общее решение второго уравнения системы:

Таким образом, общее решение данного линейного уравнения имеет вид:

Найдем частное решение уравнения. Используя начальное условие   найдем с.

Подставив  и  в общее решение линейного уравнения, получим

Тогда частное решение линейного уравнения при  имеет вид:

Пример 13. Решить задачу Коши

Решение.  Данное уравнение нелинейно относительно и .

Преобразуем уравнение, воспользовавшись там, что :

Полученное уравнение линейно относительно  и .

Решение будем искать в виде

Тогда  

Подставим  и  в уравнение

Вначале решаем первое уравнение системы

- частное решение первого уравнения системы.

Подставим  во второе уравнение системы :

Вычислим отдельно каждый интеграл:

  

  

б)

Подставляя решение этих двух интегралов в , получим

Тогда, общее решение линейного дифференциального уравнения (23) имеет вид:

Воспользуемся начальными условиями  и найдем .

Тогда частное решение линейного уравнения (23) при  имеет вид:

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач