Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

Математика
Типовой расчет по математике
Функции нескольких переменных
Примеры вычисления интегралов
Кратные интегралы
Криволинейные и поверхностные интегралы
Физика лабораторные работы
Строение атомов
Явление электромагнитной индукции
Законы сохранения в механике
Понятие о внутреннем трении
Интерференция света
Оптическая пирометрия
Изучение цепи переменного тока
Ядерные реакторы
Ядерная физика
Электротехника
Лекции, лабораторные и примеры расчета из курсовой
Трехфазные трансформаторы
Постоянный ток
Сила и плотность тока
Электрическая емкость. Конденсаторы
Закон Ома для замкнутой цепи
Закон Ома для однородного участка цепи
Сопромат
Контрольная работа по сопромату
Методика решения задач
Дополнительные задачи на сдвиг
Сложное сопротивление
Действие динамических нагрузок
Начертательная геометрия
Начертательная геометрия
Построить три проекции призмы
Машиностроительное черчение
Метрические задачи
Обозначения шероховатости поверхности
Основы теории теней
Введение в черчение
Информатика
Архитектура персонального компьютера
Программное обеспечение персонального компьютера
Операционная система Windows
Типы локальных сетей
Система управления базами данных MS Access
Операционная система Linux
Техническое обслуживание компьютера
Инструменты для разборки и чистки
Переформатирование жесткого диска
Системы резервирования данных
Гарантийные обязательства и сервисное обслуживание
Программы для восстановления данных
Ланшафт, архитектура
Ландшафтная архитектура
История и стили в архитектуре
Орнаментальное искусство
Орнаменты древнего мира
Древнегреческое орнаментальное искусство
Орнаменты Классицизма, Ампира, Модерна
Художественные стили
Авангардизм
Модернизм
Романский стиль
Ампир
Рококо
Буддизм
Модерн
Готическое искусство
Арт-дизайн
Зарождение арт-дизайна в проектировании мебели
Общие черты и этапы развития культуры ХХ века
Изобразительное искусство и архитектура
Важнейшее искусство XX века – кино
Русская усадьба
Максим Горький в семейной родословной
Кандинский
МОНДРИАН, ПИТ
АБСТРАКЦИОНИЗМ
Суть дизайнерской деятельности
Создание дизайн-концепции
Приемы озеленения территорий
Зонирование сада
Камень для ландшафтного дизайна

Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

Уравнения вида

 (12)

где  и с - постоянные числа , приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки

Замечание 1. Если с = 0, получим уравнение

  (13)

которое решается с помощью замены

Замечание 2. Если а = 0 или b = 0, то получим уравнение с разделяющимися переменными.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Введем новую переменную  по формуле

Подставим  и  в первоначальное уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменными относительно  и .

Интегрируя обе части равенства, получим общий интеграл уравнения

  - общее решение уравнения.

Замечание. В примерах частные и особые решения дифференциальных уравнений рассматривать не будем.

3. Однородные уравнения

Определение. Функция  называется однородной функцией степени , если для  выполняется тождество

  (14)

Пример 6. Рассмотрим функцию

Решение.  Данная функция однородная степени

Покажем это. 

Вычислим

Пример 7. Проверить, является ли данная функция

  

однородной?

 Решение. 

Данная функция является однородной степени m = 1.

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка

  (15)

называется однородным, если  - однородные функции одной и той же степени.

Замечание. Всякая однородная функция нулевой степени является функцией отношения её аргументов:

  (16)

Тогда любое однородное дифференциальное уравнение может быть записано в следующем виде:

 (17)

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки

  (18)

тогда  (19)

Подставляя (18) и (19) в уравнение (17), получим уравнение с разделяющимися переменными относительно  и .

Пример 8. Решить уравнение

 

Решение. Разделив данное уравнение на произведение , получим

Выразим  у'

Получили однородное уравнение. Сделаем замену:

Тогда   

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

Далее

Интегрируя последнее равенство, получим

Умножим последнее равенство на (-1)

 

Подставив вместо , получим общее решение уравнения

Пример 9. Решить уравнение

  

Решение. Учитывая, что x ¹ 0, разделим данное уравнение на х:

Подставим в преобразованное уравнение

Учитывая, что , тогда

Разделим переменные 

Интегрируя, получим

Вернемся к старым переменным

 - общий интеграл уравнения.

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач