Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными
Уравнения
вида
(12)
где
и с -
постоянные числа
, приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными
с помощью подстановки

Замечание
1. Если с = 0, получим уравнение
(13)
которое решается с помощью замены

Замечание
2. Если а = 0 или b = 0, то получим уравнение с разделяющимися переменными.
Пример
5. Решить уравнение

Решение.
Введем новую переменную
по формуле

Подставим
и
в первоначальное уравнение, получим уравнение с разделяющимися
переменными относительно
и
.

Интегрируя
обе части равенства, получим общий интеграл уравнения
- общее решение уравнения.
Замечание.
В примерах частные и особые решения дифференциальных уравнений рассматривать не
будем.
3. Однородные уравнения
Определение. Функция
называется однородной функцией степени
, если для
выполняется тождество
(14)
Пример 6. Рассмотрим функцию

Решение.
Данная функция однородная степени
.
Покажем это.
Вычислим

Пример
7. Проверить, является ли данная функция
однородной?
Решение.

Данная
функция является однородной степени m = 1.
Определение. Дифференциальное
уравнение первого порядка
(15)
называется однородным, если
- однородные
функции одной и той же степени.
Замечание. Всякая однородная функция нулевой
степени является функцией отношения её аргументов:
(16)
Тогда любое однородное дифференциальное уравнение может быть записано
в следующем виде:
(17)
Однородное
уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки
(18)
тогда
(19)
Подставляя (18) и (19) в уравнение (17),
получим уравнение с разделяющимися переменными относительно
и
.
Пример 8. Решить уравнение

Решение. Разделив данное уравнение
на произведение
, получим

Выразим
у'

Получили однородное
уравнение. Сделаем замену:

Тогда
Получили уравнение с разделяющимися переменными.
Далее

Интегрируя последнее
равенство, получим

Умножим
последнее равенство на (-1)

Подставив
вместо
, получим общее решение уравнения

Пример
9. Решить уравнение
Решение. Учитывая, что x ¹
0, разделим данное уравнение на х:



Подставим в преобразованное
уравнение

Учитывая,
что
, тогда 
Разделим переменные 
Интегрируя, получим

Вернемся
к старым переменным
- общий интеграл уравнения.