Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными
Уравнения вида
(12)
где
и с - постоянные числа
, приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки
Замечание 1. Если с = 0, получим уравнение
(13)
которое решается с помощью замены
Замечание 2. Если а = 0 или b = 0, то получим уравнение с разделяющимися переменными.
Пример 5. Решить уравнение
Решение. Введем новую переменную
по формуле
Подставим
и
в первоначальное уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменными относительно
и
Интегрируя обе части равенства, получим общий интеграл уравнения
- общее решение уравнения.
Замечание. В примерах частные и особые решения дифференциальных уравнений рассматривать не будем.
3. Однородные уравнения
Определение. Функция
называется однородной функцией степени
, если для
выполняется тождество
(14)
Пример 6. Рассмотрим функцию
Решение. Данная функция однородная степени
.
Покажем это.
Вычислим
Пример 7. Проверить, является ли данная функция
однородной?
Решение.
Данная функция является однородной степени m = 1.
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка
(15)
называется однородным, если
- однородные функции одной и той же степени.
Замечание. Всякая однородная функция нулевой степени является функцией отношения её аргументов:
(16)
Тогда любое однородное дифференциальное уравнение может быть записано в следующем виде:
(17)
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки
(18)
тогда
(19)
Подставляя (18) и (19) в уравнение (17), получим уравнение с разделяющимися переменными относительно
Пример 8. Решить уравнение
Решение. Разделив данное уравнение на произведение
, получим
Выразим у'
Получили однородное уравнение. Сделаем замену:
Тогда
Получили уравнение с разделяющимися переменными.
Далее
Интегрируя последнее равенство, получим
Умножим последнее равенство на (-1)
Подставив вместо
, получим общее решение уравнения
Пример 9. Решить уравнение
Решение. Учитывая, что x ¹ 0, разделим данное уравнение на х:
Подставим в преобразованное уравнение
Учитывая, что
, тогда
Разделим переменные
Интегрируя, получим
Вернемся к старым переменным
- общий интеграл уравнения.
| Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач |