Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

Уравнения вида

 (12)

где  и с - постоянные числа , приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки

Замечание 1. Если с = 0, получим уравнение

  (13)

которое решается с помощью замены

Замечание 2. Если а = 0 или b = 0, то получим уравнение с разделяющимися переменными.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Введем новую переменную  по формуле

Подставим  и  в первоначальное уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменными относительно  и .

Интегрируя обе части равенства, получим общий интеграл уравнения

  - общее решение уравнения.

Замечание. В примерах частные и особые решения дифференциальных уравнений рассматривать не будем.

3. Однородные уравнения

Определение. Функция  называется однородной функцией степени , если для  выполняется тождество

  (14)

Пример 6. Рассмотрим функцию

Решение.  Данная функция однородная степени . 

Покажем это. 

Вычислим

Пример 7. Проверить, является ли данная функция

  

однородной?

 Решение. 

Данная функция является однородной степени m = 1.

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка

  (15)

называется однородным, если  - однородные функции одной и той же степени.

Замечание. Всякая однородная функция нулевой степени является функцией отношения её аргументов:

  (16)

Тогда любое однородное дифференциальное уравнение может быть записано в следующем виде:

 (17)

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки

  (18)

тогда  (19)

Подставляя (18) и (19) в уравнение (17), получим уравнение с разделяющимися переменными относительно  и .

Пример 8. Решить уравнение

 

Решение. Разделив данное уравнение на произведение , получим

Выразим  у'

Получили однородное уравнение. Сделаем замену:

Тогда   

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

Далее

Интегрируя последнее равенство, получим

Умножим последнее равенство на (-1)

 

Подставив вместо , получим общее решение уравнения

Пример 9. Решить уравнение

  

Решение. Учитывая, что x ¹ 0, разделим данное уравнение на х:

Подставим в преобразованное уравнение

Учитывая, что , тогда

Разделим переменные 

Интегрируя, получим

Вернемся к старым переменным

 - общий интеграл уравнения.