Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

Уравнения вида

 (12)

где  и с - постоянные числа , приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки

Замечание 1. Если с = 0, получим уравнение

  (13)

которое решается с помощью замены

Замечание 2. Если а = 0 или b = 0, то получим уравнение с разделяющимися переменными.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Введем новую переменную  по формуле

Подставим  и  в первоначальное уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменными относительно  и .

Интегрируя обе части равенства, получим общий интеграл уравнения

  - общее решение уравнения.

Замечание. В примерах частные и особые решения дифференциальных уравнений рассматривать не будем.

3. Однородные уравнения

Определение. Функция  называется однородной функцией степени , если для  выполняется тождество

  (14)

Пример 6. Рассмотрим функцию

Решение.  Данная функция однородная степени

Покажем это. 

Вычислим

Пример 7. Проверить, является ли данная функция

  

однородной?

 Решение. 

Данная функция является однородной степени m = 1.

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка

  (15)

называется однородным, если  - однородные функции одной и той же степени.

Замечание. Всякая однородная функция нулевой степени является функцией отношения её аргументов:

  (16)

Тогда любое однородное дифференциальное уравнение может быть записано в следующем виде:

 (17)

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки

  (18)

тогда  (19)

Подставляя (18) и (19) в уравнение (17), получим уравнение с разделяющимися переменными относительно  и .

Пример 8. Решить уравнение

 

Решение. Разделив данное уравнение на произведение , получим

Выразим  у'

Получили однородное уравнение. Сделаем замену:

Тогда   

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

Далее

Интегрируя последнее равенство, получим

Умножим последнее равенство на (-1)

 

Подставив вместо , получим общее решение уравнения

Пример 9. Решить уравнение

  

Решение. Учитывая, что x ¹ 0, разделим данное уравнение на х:

Подставим в преобразованное уравнение

Учитывая, что , тогда

Разделим переменные 

Интегрируя, получим

Вернемся к старым переменным

 - общий интеграл уравнения.

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач