Дифференциальные уравнения первого порядка

Математика
Типовой расчет по математике
Функции нескольких переменных
Примеры вычисления интегралов
Кратные интегралы
Криволинейные и поверхностные интегралы
Физика лабораторные работы
Строение атомов
Явление электромагнитной индукции
Законы сохранения в механике
Понятие о внутреннем трении
Интерференция света
Оптическая пирометрия
Изучение цепи переменного тока
Ядерные реакторы
Ядерная физика
Электротехника
Лекции, лабораторные и примеры расчета из курсовой
Трехфазные трансформаторы
Постоянный ток
Сила и плотность тока
Электрическая емкость. Конденсаторы
Закон Ома для замкнутой цепи
Закон Ома для однородного участка цепи
Сопромат
Контрольная работа по сопромату
Методика решения задач
Дополнительные задачи на сдвиг
Сложное сопротивление
Действие динамических нагрузок
Начертательная геометрия
Начертательная геометрия
Построить три проекции призмы
Машиностроительное черчение
Метрические задачи
Обозначения шероховатости поверхности
Основы теории теней
Введение в черчение
Информатика
Архитектура персонального компьютера
Программное обеспечение персонального компьютера
Операционная система Windows
Типы локальных сетей
Система управления базами данных MS Access
Операционная система Linux
Техническое обслуживание компьютера
Инструменты для разборки и чистки
Переформатирование жесткого диска
Системы резервирования данных
Гарантийные обязательства и сервисное обслуживание
Программы для восстановления данных
Ланшафт, архитектура
Ландшафтная архитектура
История и стили в архитектуре
Орнаментальное искусство
Орнаменты древнего мира
Древнегреческое орнаментальное искусство
Орнаменты Классицизма, Ампира, Модерна
Художественные стили
Авангардизм
Модернизм
Романский стиль
Ампир
Рококо
Буддизм
Модерн
Готическое искусство
Арт-дизайн
Зарождение арт-дизайна в проектировании мебели
Общие черты и этапы развития культуры ХХ века
Изобразительное искусство и архитектура
Важнейшее искусство XX века – кино
Русская усадьба
Максим Горький в семейной родословной
Кандинский
МОНДРИАН, ПИТ
АБСТРАКЦИОНИЗМ
Суть дизайнерской деятельности
Создание дизайн-концепции
Приемы озеленения территорий
Зонирование сада
Камень для ландшафтного дизайна

Дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются дифференциальными уравнениями.

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию  и её производную первого порядка  или дифференциалы  и .

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

 (1)

Если это уравнение можно разрешить относительно у', то оно примет вид

  (2)

Основной задачей теории дифференциальных уравнений является нахождение неизвестных функций, определяемых дифференциальными уравнениями

Определение. Решением дифференциального уравнения (1) называется функция , обращающая уравнение в тождество.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция

,  (3)

которая зависит от произвольной постоянной с и обращает дифференци­альное уравнение (1) в тождество.

Определение. Общее решение

  (4)

заданное в неявном виде, называется общим интегралом этого уравнения.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения (1) называется функция , которая получается из общего решения (3) при определенном числовом значении .

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.

Пусть в уравнении (2) функция  и её частная производная  непрерывны в некоторой области на плоскости . Тогда, какова бы ни была точка , всегда существует (и при том только одно) такое решение этого уравнения , которое равно  при , т. к. .

Условие, что  при , называется начальным условием.

Оно записывается в виде

 или  (5)

Поставим задачу. Найти решение  уравнения (2), удовлетворяющее предыдущей теореме. 

Такая задача называется задачей Коши.

Определение. Решение, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым.

Замечание. В некоторых случаях выгодно за искомую функцию считать переменную   и записывать уравнение (2) в виде

  где  (6)

Учитывая, что   и  дифференциальные уравнения (1), (2) и (6) можно записать в форме

 (7)

где   и   - известные функции.

Пример 1. Найти общее решение уравнения 

Решение. Так как , то получим 

Тогда Интегрируя обе части уравнения, окончательно получим

Общее решение данного уравнения образует семейство кубических парабол, т.к. может принимать любое числовое значение.

Рассмотрим частное решение.

Пусть наша кривая проходит через точку М(1,0), см. рис. Подставим координаты точки М в общее решение. Получим

, откуда 

Тогда частное решение имеет вид

Геометрическое толкование дифференциального уравнения первого порядка заключается в том, что общее решение (общий интеграл) (4) представляет собой семейство кривых на координатной плоскости, зависящее от одной произвольной постоянной .

Эти кривые называются интегральными кривыми уравнениями (1), (2).

Частному решению (задачи Коши) соответствует одна кривая этого семейства, проходящая через данную точку плоскости.

Решить дифференциальное уравнение (1) - значит:

найти его общее решение (если начальные условия не заданы);

найти частное решение уравнения (1), которое удовлетворяет начальным условиям или, другими словами, решить задачу Коши.

Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений первого порядка.

1. Уравнения с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальное уравнение вида

  (8)

в котором коэффициент при  является функцией только от , а коэффициент при  - функцией только от , называется уравнением с разделенными переменными.

Функции   и  должны быть непрерывными для всех значений и .

Уравнение с разделенными переменными решается следующим образом:

Перенесем слагаемое  в правую сторону равенства (8) с противоположным знаком.

Проинтегрируем правую часть уравнения по , а левую по х.

  (9)

Полученное равенство (9) является общим интегралом уравнения с разделенными переменными (8).

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Переменные уравнения разделены.

Тогда 

Интегрируя, получим

  или  

Тогда   или  - семейство гипербол.

Замечание. Дифференциалы и  должны всегда стоять в числителе.

Определение.  Дифференциальное уравнение вида

  (10)

в котором коэффициенты при дифференциалах можно разложить на множители, зависящие только от  и только от , называется уравнением с разделяющимися переменными.

Разделим уравнение (10) на ,  получим

Далее

 (11)

Проинтегрировав обе части уравнения (11), получим общий интеграл уравнения (10):

Замечание 1. При делении обеих частей уравнения (10) на произведение   могут быть потеряны частные решения, обращающие в нуль произведение .

Замечание 2. Уравнение с разделенными переменными (8) является частным случаем уравнения с разделяющимися переменными.

Пример 3. Решить уравнение 

Решение. Так как , то получим

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Разделив это уравнение на  и умножив его на , получим

Интегрируя, получим

Откуда  - общее решение нашего уравнения в общем виде.

При делении обеих частей уравнения на  можно потерять решение
.  Оно также является особым (или частным) решением уравнения. Заметим, что это решение можно получить из общего при .  Поэтому в ответе достаточно указать

Пример 4. Решить уравнение

Решение.  Представим уравнение в виде

Вынесем общие множители за скобки

Это уравнение с разделяющимися переменными. Перенесем второе слагаемое в правую сторону

Разделим обе части уравнения на произведение

Интегрируя обе части уравнения, найдем общее решение

Умножим обе части уравнения на 2

  - общее решение (общий интеграл) уравнения в неявном виде.

При делении обеих частей уравнения на произведение  могли потерять решение , которое находится из равенства   Функции  не являются решением нашего уравнения, т.к. при подстановке в уравнение не обращают его в тождество.

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач