Интегрирование некоторых иррациональных функций

Математика
Типовой расчет по математике
Функции нескольких переменных
Примеры вычисления интегралов
Кратные интегралы
Криволинейные и поверхностные интегралы
Физика лабораторные работы
Строение атомов
Явление электромагнитной индукции
Законы сохранения в механике
Понятие о внутреннем трении
Интерференция света
Оптическая пирометрия
Изучение цепи переменного тока
Ядерные реакторы
Ядерная физика
Электротехника
Лекции, лабораторные и примеры расчета из курсовой
Трехфазные трансформаторы
Постоянный ток
Сила и плотность тока
Электрическая емкость. Конденсаторы
Закон Ома для замкнутой цепи
Закон Ома для однородного участка цепи
Сопромат
Контрольная работа по сопромату
Методика решения задач
Дополнительные задачи на сдвиг
Сложное сопротивление
Действие динамических нагрузок
Начертательная геометрия
Начертательная геометрия
Построить три проекции призмы
Машиностроительное черчение
Метрические задачи
Обозначения шероховатости поверхности
Основы теории теней
Введение в черчение
Информатика
Архитектура персонального компьютера
Программное обеспечение персонального компьютера
Операционная система Windows
Типы локальных сетей
Система управления базами данных MS Access
Операционная система Linux
Техническое обслуживание компьютера
Инструменты для разборки и чистки
Переформатирование жесткого диска
Системы резервирования данных
Гарантийные обязательства и сервисное обслуживание
Программы для восстановления данных
Ланшафт, архитектура
Ландшафтная архитектура
История и стили в архитектуре
Орнаментальное искусство
Орнаменты древнего мира
Древнегреческое орнаментальное искусство
Орнаменты Классицизма, Ампира, Модерна
Художественные стили
Авангардизм
Модернизм
Романский стиль
Ампир
Рококо
Буддизм
Модерн
Готическое искусство
Арт-дизайн
Зарождение арт-дизайна в проектировании мебели
Общие черты и этапы развития культуры ХХ века
Изобразительное искусство и архитектура
Важнейшее искусство XX века – кино
Русская усадьба
Максим Горький в семейной родословной
Кандинский
МОНДРИАН, ПИТ
АБСТРАКЦИОНИЗМ
Суть дизайнерской деятельности
Создание дизайн-концепции
Приемы озеленения территорий
Зонирование сада
Камень для ландшафтного дизайна

 

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Определение 3. Функция называется алгебраической иррациональной, если над аргументом производится только четыре арифметических действия и действие возведения в рациональную степень.

 Метод интегрирования алгебраических иррациональностей состоит в выборе подстановки, которая привела бы подынтегральную функцию к рациональной.

Наиболее часто встречаются иррациональности вида:

 – несократимые дроби.

Рекомендуется подстановка: , где  – наименьшее общее кратное знаменателей дробей (н.о.к.) .

;

Подстановка: , где н.о.к..

.

Подстановка: , где н.о.к.  приводит подынтегральную функцию к рациональному виду.

;  Подстановка: , .

;  Подстановка: , .

;  Подстановка: , .

Рекомендуется подстановка: , где  – наименьшее общее кратное знаменателей дробей (н.о.к.) .

;

Подстановка: , где н.о.к..

.

Подстановка: , где н.о.к. приводит подынтегральную функцию к рациональному виду.

  приводится к одному из видов в п. II методом выделения полного квадрата трехчлена, стоящего под корнем квадратным.

Пример 21. ;

Наименьшее общее кратное знаменателей дробей ,  равно 10.

Сделаем подстановку, ;

Тогда .

  – правильная рациональная дробь. Разложим ее на простейшие рациональные дроби, что рекомендуется проделать самостоятельно.

Получим: =

 =

=,  где .

Пример 22. ;

Сделаем подстановку, которая приводит подынтегральную функцию к рациональному виду: ;

Найдем из этого уравнения  и ;

.

Тогда .

Проинтегрируем правильную рациональную дробь , разложив ее на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов.

Представим интеграл в виде суммы:

 

.

Возвращаясь к старой переменной по формуле ,

получим .

Пример 23. ; Это интеграл типа II.

Применим подстановку ; ;

;  тогда  ;

;

Чтобы вернуться к первоначальной переменной, выразим  через ;

;

Получим ;

Пример 24. ; Это интеграл типа III.

Алгоритм вычисления интеграла такого типа аналогичен алгоритму интегрирования рациональной дроби типа III:

, а именно:

Выделение полного квадрата трехчлена, стоящего в знаменателе;

Введение новой переменной.

.

IV. Интеграл от дифференциального бинома: , может быть вычислен в конечном виде только в следующих случаях:

 – целое число, тогда применима подстановка , где  – общий знаменатель дробей  и . Или разлагают на сумму по формуле бинома Ньютона.

  – целое число, подстановка , где  – знаменатель дроби .

  – целое число, подстановка , где  – знаменатель дроби .

Эти подстановки называются подстановками Чебышева, который доказал, что только в этих случаях дифференциальный бином может быть приведен к рациональному виду и вычислен при помощи элементарных функций.

Пример 25. ;

Запишем интеграл в виде ,

где , , , .

  – не целое число;  – целое число.

В этом случае применима подстановка: ;

;

;

Проинтегрируем рациональную дробь: , разложив ее на простейшие: .

Найдя коэффициенты разложения, получим: А=, B=, C=.

Подставим их в разложение и проинтегрируем дроби:

=,

где =.

 
Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач