Интегрирование некоторых иррациональных функций

 

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Определение 3. Функция называется алгебраической иррациональной, если над аргументом производится только четыре арифметических действия и действие возведения в рациональную степень.

 Метод интегрирования алгебраических иррациональностей состоит в выборе подстановки, которая привела бы подынтегральную функцию к рациональной.

Наиболее часто встречаются иррациональности вида:

 – несократимые дроби.

Рекомендуется подстановка: , где  – наименьшее общее кратное знаменателей дробей (н.о.к.) .

;

Подстановка: , где н.о.к..

.

Подстановка: , где н.о.к.  приводит подынтегральную функцию к рациональному виду.

;  Подстановка: , .

;  Подстановка: , .

;  Подстановка: , .

Рекомендуется подстановка: , где  – наименьшее общее кратное знаменателей дробей (н.о.к.) .

;

Подстановка: , где н.о.к..

.

Подстановка: , где н.о.к. приводит подынтегральную функцию к рациональному виду.

  приводится к одному из видов в п. II методом выделения полного квадрата трехчлена, стоящего под корнем квадратным.

Пример 21. ;

Наименьшее общее кратное знаменателей дробей ,  равно 10.

Сделаем подстановку, ;

Тогда .

  – правильная рациональная дробь. Разложим ее на простейшие рациональные дроби, что рекомендуется проделать самостоятельно.

Получим: =

 =

=,  где .

Пример 22. ;

Сделаем подстановку, которая приводит подынтегральную функцию к рациональному виду: ;

Найдем из этого уравнения  и ;

.

Тогда .

Проинтегрируем правильную рациональную дробь , разложив ее на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов.

Представим интеграл в виде суммы:

 

.

Возвращаясь к старой переменной по формуле ,

получим .

Пример 23. ; Это интеграл типа II.

Применим подстановку ; ;

;  тогда  ;

;

Чтобы вернуться к первоначальной переменной, выразим  через ;

;

Получим ;

Пример 24. ; Это интеграл типа III.

Алгоритм вычисления интеграла такого типа аналогичен алгоритму интегрирования рациональной дроби типа III:

, а именно:

Выделение полного квадрата трехчлена, стоящего в знаменателе;

Введение новой переменной.

.

IV. Интеграл от дифференциального бинома: , может быть вычислен в конечном виде только в следующих случаях:

 – целое число, тогда применима подстановка , где  – общий знаменатель дробей  и . Или разлагают на сумму по формуле бинома Ньютона.

  – целое число, подстановка , где  – знаменатель дроби .

  – целое число, подстановка , где  – знаменатель дроби .

Эти подстановки называются подстановками Чебышева, который доказал, что только в этих случаях дифференциальный бином может быть приведен к рациональному виду и вычислен при помощи элементарных функций.

Пример 25. ;

Запишем интеграл в виде ,

где , , , .

  – не целое число;  – целое число.

В этом случае применима подстановка: ;

;

;

Проинтегрируем рациональную дробь: , разложив ее на простейшие: .

Найдя коэффициенты разложения, получим: А=, B=, C=.

Подставим их в разложение и проинтегрируем дроби:

=,

где =.

 
Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач