Определенный интеграл

Математика
Типовой расчет по математике
Функции нескольких переменных
Примеры вычисления интегралов
Кратные интегралы
Криволинейные и поверхностные интегралы
Физика лабораторные работы
Строение атомов
Явление электромагнитной индукции
Законы сохранения в механике
Понятие о внутреннем трении
Интерференция света
Оптическая пирометрия
Изучение цепи переменного тока
Ядерные реакторы
Ядерная физика
Электротехника
Лекции, лабораторные и примеры расчета из курсовой
Трехфазные трансформаторы
Постоянный ток
Сила и плотность тока
Электрическая емкость. Конденсаторы
Закон Ома для замкнутой цепи
Закон Ома для однородного участка цепи
Сопромат
Контрольная работа по сопромату
Методика решения задач
Дополнительные задачи на сдвиг
Сложное сопротивление
Действие динамических нагрузок
Начертательная геометрия
Начертательная геометрия
Построить три проекции призмы
Машиностроительное черчение
Метрические задачи
Обозначения шероховатости поверхности
Основы теории теней
Введение в черчение
Информатика
Архитектура персонального компьютера
Программное обеспечение персонального компьютера
Операционная система Windows
Типы локальных сетей
Система управления базами данных MS Access
Операционная система Linux
Техническое обслуживание компьютера
Инструменты для разборки и чистки
Переформатирование жесткого диска
Системы резервирования данных
Гарантийные обязательства и сервисное обслуживание
Программы для восстановления данных
Ланшафт, архитектура
Ландшафтная архитектура
История и стили в архитектуре
Орнаментальное искусство
Орнаменты древнего мира
Древнегреческое орнаментальное искусство
Орнаменты Классицизма, Ампира, Модерна
Художественные стили
Авангардизм
Модернизм
Романский стиль
Ампир
Рококо
Буддизм
Модерн
Готическое искусство
Арт-дизайн
Зарождение арт-дизайна в проектировании мебели
Общие черты и этапы развития культуры ХХ века
Изобразительное искусство и архитектура
Важнейшее искусство XX века – кино
Русская усадьба
Максим Горький в семейной родословной
Кандинский
МОНДРИАН, ПИТ
АБСТРАКЦИОНИЗМ
Суть дизайнерской деятельности
Создание дизайн-концепции
Приемы озеленения территорий
Зонирование сада
Камень для ландшафтного дизайна

 

Определенный интеграл

Изучение определенного интеграла начинаем со следующей задачи. Пусть функция  определена на , . Попробуем отыскать метод вычисления площади  фигуры (криволинейной трапеции), ограниченной осью , прямыми ,  и графиком функции , рис. 1.

Рассмотрим частные случаи

Функция  постоянна на . В таком случае рассматриваемая фигура является прямоугольником, а его площадь равна длине основания , умноженной на высоту  

.

Пусть  непрерывна на . Разделим отрезок  на  произвольных частей точками . Выберем на каждом элементарном отрезке   произвольную точку  и вычислим значение функции в ней, т.е. величину .

Умножим найденные значения  на длину , т.е. .

Составим сумму  всех таких произведений

  (1)

Сумма вида (1) называется интегральной суммой функции  на отрезке .

Обозначим .

Найдем предел интегральной суммы (1), когда  так, что 
.

Если при этом интегральная сумма  имеет предел, который не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число под определенным интегралом от функции   на отрезке  и обозначается

Числа a и b называются, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования, - подынтегральной функцией,  - подынтегральным выражением,  - переменной интегрирования, - областью интегрирования.

Теорема существования определенного интеграла

Если функция  непрерывна на , то определенный интеграл  существует.

Укажем на некоторые свойства определенного интеграла:

Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования .

Для любого с, .

Теорема. Если функция  непрерывна на , то определенный интеграл  с переменным верхним пределом является первообразной для функции , то есть

Формула Ньютона - Лейбница

Если   - первообразная для непрерывной на  функции , то имеет место равенство:

Формула Ньютона - Лейбница дает удобный способ вычисления определенного интеграла.

Примеры.

  Формула Ньютона - Лейбница лежит в основе следующих методов, полезных при вычислении определенных интегралов.

1. Замена переменных в определенном интеграле

Пусть - непрерывна на . Введем новую переменную  по формуле . Пусть , , функции ,  и  непрерывны на . Тогда

Пример.

Положим 

Интегрирование по частям

Для любых непрерывно дифференцируемых на  функций  и  имеет место равенство:

Или в обозначениях 


Примеры. Вычислить:

С использованием Кредитной схемы, webmoney кредит.
Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач