Определенный интеграл

 

Определенный интеграл

Изучение определенного интеграла начинаем со следующей задачи. Пусть функция  определена на , . Попробуем отыскать метод вычисления площади  фигуры (криволинейной трапеции), ограниченной осью , прямыми ,  и графиком функции , рис. 1.

Рассмотрим частные случаи

Функция  постоянна на . В таком случае рассматриваемая фигура является прямоугольником, а его площадь равна длине основания , умноженной на высоту  

.

Пусть  непрерывна на . Разделим отрезок  на  произвольных частей точками . Выберем на каждом элементарном отрезке   произвольную точку  и вычислим значение функции в ней, т.е. величину .

Умножим найденные значения  на длину , т.е. .

Составим сумму  всех таких произведений

  (1)

Сумма вида (1) называется интегральной суммой функции  на отрезке .

Обозначим .

Найдем предел интегральной суммы (1), когда  так, что 
.

Если при этом интегральная сумма  имеет предел, который не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число под определенным интегралом от функции   на отрезке  и обозначается

Числа a и b называются, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования, - подынтегральной функцией,  - подынтегральным выражением,  - переменной интегрирования, - областью интегрирования.

Теорема существования определенного интеграла

Если функция  непрерывна на , то определенный интеграл  существует.

Укажем на некоторые свойства определенного интеграла:

Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования .

Для любого с, .

Теорема. Если функция  непрерывна на , то определенный интеграл  с переменным верхним пределом является первообразной для функции , то есть

Формула Ньютона - Лейбница

Если   - первообразная для непрерывной на  функции , то имеет место равенство:

Формула Ньютона - Лейбница дает удобный способ вычисления определенного интеграла.

Примеры.

  Формула Ньютона - Лейбница лежит в основе следующих методов, полезных при вычислении определенных интегралов.

1. Замена переменных в определенном интеграле

Пусть - непрерывна на . Введем новую переменную  по формуле . Пусть , , функции ,  и  непрерывны на . Тогда

Пример.

Положим 

Интегрирование по частям

Для любых непрерывно дифференцируемых на  функций  и  имеет место равенство:

Или в обозначениях 


Примеры. Вычислить:

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач