20. Метод неопределенных
коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами
Предел
функции при стремлении аргумента к бесконечности Введение в математический
анализ
Согласно
общей теории линейных дифференциальных уравнений, для решения уравнения 
(1) достаточно
знать фундаментальную систему решений 
однородного
уравнения 
(2) и найти хотя бы одно решение 
неоднородного уравнения. Тогда
любое решение 
неоднородного уравнения
имеет вид: 
, где 
- произвольные постоянные.
В
случае уравнения с постоянными коэффициентами мы указали способы нахождения его
фундаментальной системы решений. Используя метод вариации постоянных, можно теперь
найти решение и неоднородного уравнения. Однако есть важные частные случаи, когда
решение неоднородного уравнения можно отыскать значительно проще.
Пусть
(3), где 
- многочлены, 
- действительные числа. Согласно принципу
суперпозиции, достаточно уметь решать уравнение вида 
(4). Тогда, решив каждое из уравнений 
и просуммировав полученные решения,
мы получим решение исходного уравнения (3).
Решения
уравнения (4) имеют различный вид в зависимости от того, является или нет число
корнем характеристического уравнения для
однородного уравнения (2).
В
первом случае не является корнем характеристического уравнения.
Тогда решение уравнения (4) можно искать в виде 
, где 
- многочлен той же степени, что и многочлен
.
Во
втором случае, если является корнем характеристического уравнения
(2) кратности 
, решение уравнения (4)
следует искать в виде 
, где - многочлен той же степени, что и .
Эти
два случая можно объединить в один, если считать, что , не являющееся корнем характеристического
уравнения, имеет нулевую кратность. Тогда решение уравнения (4) следует искать
в виде , 
, где
- кратность в характеристическом уравнении.
Если
в правую часть 
уравнения (1) входят слагаемые вида 
(5), где 
- многочлены, то можно искать решение уравнений
(6) в виде 
, где
- кратность корня 
в характеристическом многочлене однородного
уравнения (
, если - не корень характеристического уравнения),
а степень каждого из многочленов 
равна наивысшей из степеней
многочленов .
Когда
слагаемых вида (5) несколько, то мы решаем соответствующие им уравнения (6) и
применяем затем принцип суперпозиции.
Рассмотрим
важный пример.
Пример.
Уравнение упругих колебаний без сопротивления при наличии возмущающей периодической
силы: 
, 
- постоянные.
Корни
характеристичского уравнения 
равны 
. Поэтому фундаментальная система решений
однородного уравнения 
состоит из функций 
.
Если
, то решение
исходного уравнения ищем в виде 
. Подставляем его в уравнение:
, 
, откуда
, или 
, откуда 
. Тем самым, общее решение уравнения имеет
вид 
. Здесь 
- амплитуда свободных колебаний, 
- частота свободных колебаний, 
- амплитуда вынужденных колебаний с частотой
. Чем ближе величина 
, тем больше амплитуда вынужденных колебаний.
Если
же 
, то решение, согласно указанным выше правилам,
следует искать в виде 
. Тогда 
. Подставим
в уравнение: 
, или 
. Итак, общее решение уравнения имеет вид:
. При 
амплитуда колебаний возрастает неограниченно.
Это – явление резонанса.
