Курс лекций математического анализа

2. Ряды с неотрицательными членами. Теоремы сравнения. Признаки Даламбера, Коши, Гаусса
Если известно, что все члены ряда имеют, начиная с некоторого номера, постоянный знак, то исследовать его сходимость проще, чем в общем случае. Это связано с простым критерием сходимости для таких рядов. Для простоты предположим, что все . Непрерывность функции в точке Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, но не является непрерывной в самой точке х₀, то она называется разрывной функцией, а точка х₀ – точкой разрыва.
Теорема. (Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами). Ряд сходится .
Доказательство.
. Пусть . Тогда при всех .
. Пусть . Поскольку , последовательность возрастает и, по условию, ограничена. Следовательно, по теореме Вейерштрасса (см. 1-ый семестр), она имеет предел, то есть ряд сходится.
Простые следствия из этого критерия – очень полезные теоремы сравнения.
Теорема 1. Пусть для всех и пусть ряд - сходится. Тогда сходится ряд .
Доказательство. Очевидны неравенства . По условию - сходится. Значит, по приведенному выше критерию, . Но тогда и и, значит, ряд - сходится.
Примечание 1. Эта теорема может быть сформулирована и так: Пусть для всех и ряд - расходится, тогда расходится и ряд . Действительно, если бы этот ряд сходился, то первой теореме должен был бы сходиться и ряд .
Примечание 2. Теорема 1 справедлива и в случае, когда неравенство выполняется начиная с некоторого номера .
Теорема 2. Пусть для всех и . Тогда либо оба ряда и сходятся, либо они оба расходятся. (Т.е. не может быть так, что один из них сходится, а другой расходится).
Доказательство. . Выберем . Тогда (т.к. ) при .
Если ряд – сходится, то сходится и ряд (по примечанию 2 к теореме 1). Тогда, взяв , получим, что и ряд , т.е. ряд – сходится.
Если ряд – сходится, то сходится и ряд и, следовательно, сходится ряд .
Теорема доказана.
Пример применения теоремы 2. Ряд сходится, т.к. при и ряд – сходится.
Теорема. (Признак сходимости Коши). Пусть и при достаточно больших . Тогда ряд сходится. Если же при , то он расходится.
Доказательство. Неравенство при равносильно неравенству . Так как , ряд – сходится. По теореме 1 из предыдущего параграфа ряд также сходится.
Если же , то и и равенство невозможно. Т.о. необходимый признак сходимости не выполняется и ряд расходится.
В предельной форме эта теорема выглядит так:
Теорема. Пусть существует . Тогда если – ряд сходится, – ряд расходится, – признак неприменим.
Доказательство. Пусть . Выберем так, чтобы (т.е. ). Тогда при , т.е. . Применяя предыдущую теорему получаем, что ряд сходится.
Если же , то выберем так, что (т.е. ). Тогда . Вновь по предыдущей теореме ряд расходится.

Теорема. (Признак сходимости Даламбера). Пусть при всех , где . Тогда ряд сходится. Если же при , то ряд расходится.
Доказательство. Из условий теоремы следует . Иными словами, и по первой теореме сравнения ряд сходится.
Если , то при и ряд расходится.
В предельной форме этот признак выглядит так:
Теорема. Если существует , то при ряд сходится, при - расходится, а при признак неприменим.
Доказательство. При выбираем так, чтобы . Пусть выбрано так, чтобы при , т.е. и , . По предыдущей теореме ряд сходится. Если же , то выберем так, что . Тогда при и ряд расходится.
Признаки Коши и Даламбера удобны, но слабоваты. Например, для рядов и : при , при , т.е. признак Коши не применим. Признак Даламбера тем более неприменим, т.к. , .
Однако мы знаем, что гармонический ряд расходится, а для второго ряда легко подсчитать частичную сумму: и при . (Здесь использовано тождество ), т.е. ряд сходится.
Теорема. (признак Гаусса). Пусть и , .