19. Линейное однородное
дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
Общее решение
Для
уравнений 
(1), у которых 
(2), где 
- постоянные величины, существует способ,
с помощью которого задачу нахождения фундаментальной системы решений можно свести
к задаче нахождения корней некоторого вспомогательного алгебраического уравнения.
Пример
Введение в математический анализ
Для
этого будем искать решения уравнения в виде 
.
При этом 
(3). Подставим полученные величины в уравнение
(1): 
, или 
. Поскольку
при всех 
,
из этого уравнения следует, что 
(4).
Таким
образом, функция
удовлетворяет уравнению (1) тогда и только тогда, когда 
удовлетворяет уравнению
(4). Уравнение (4) называется характеристическим уравнением уравнения (1).
Далее
мы установим вид фундаментальной системы решений уравнения (1) в зависимости от
свойств корней уравнения (4).
Случай
1. Пусть все корни уравнения (4) действительные и различные. Обозначим
их 
и рассмотрим функции 
, являющиеся решениями уравнения
(1) по доказанному выше. Докажем линейную независимость. Это будет означать, что
- фундаментальная система решений (1). Определитель
Вронского этой системы функций равен, с учетом (2) 
или, после вынесения из столбцов множителей
. Определитель 
представляет собой известный определитель
Вандермонда. Он равен 
. Поэтому если все числа
попарно различны, этот определитель не равен
0. Следовательно, как доказано выше (теорема 7 предыдущего параграфа), функции
линейно независимы и составляют
искомую фундаментальную систему решений.
2
случай. Все корни - различные, но среди них есть комплексные
числа. Формально 
- это снова фундаментальная система
решений уравнения, т.к. эти функции линейно независимы (их определитель Вронского,
как и в случае 1, отличен от 0). Однако мы рассматриваем уравнение с действительными
коэффициентами и нам было бы желательно построить фундаментальную систему решений,
состоящую из действительных функций. Для этого мы сначала установим следующую
важную лемму.
Лемма.
Пусть
- линейное однородное дифференциальное уравнение (1) такое, что все постоянные
- действительные числа. Пусть комплексная функция 
удовлетворяет
этому уравнению. Тогда ему удовлетворяют и функции 
.
Доказательство.
Равенство 
означает: 
, откуда 
, или 
. Комплексная
величина 
равна 0 тогда и только тогда, когда
ее действительная часть 
и мнимая часть 
равны 0, откуда 
, т.е. 
- решения уравнения (1), что и требовалость доказать.
Пусть
теперь 
- любой комплексный корень уравнения (4). Поскольку (4) имеет действительные коэффициенты,
число 
также является его корнем. Значит,
- тоже решение уравнения (1).
Далее,
. По лемме, 
также являются решениями уравнения (1). Легко
видеть, 
, т.е. 
являются линейными комбинациями . Разумеется, также можно линейно выразить через 
. Поэтому линейная независимость решений с остальными решениями уравнения (1) равносильна
линейной независимости с остальными решениями.
Подведем
итоги. В случае, когда все - различные, причем 
- действительные, а 
- пара комплексно сопряженных чисел (
), причем 
, то фундаментальная система решений уравнения
(1) имеет вид: 
.
Случай
3. Корни характеристического уравнения действительные, но среди них есть
кратные. Напомним, что число называется корнем многочлена
кратности 
,
если 
, где 
- многочлен,
причем 
.
Пусть
корни 
имеют, соответственно, кратности 
. Тогда можно доказать (но мы оставим
это без доказательства), что функции 
составляют фундаментальную
систему решений уравнения (1).
Пример.
Приведем пример, подтверждающий это утверждение. Уравнению 
соответствует
характеристическое уравнение 
, 
.
Оно имеет корень 
с кратностью 2. Рассмотрим функции 
. 
и подставляя
в исходное уравнение, получаем 
, т.е. верное равенство. Далее, 
и подстановка функции 
в уравнение дает верное равенство: 
. Итак,
- действительно решения уравнения . Эти функции линейно
независимы, т.к. из равенства 
при 
следует 
. Значит, 
. Тогда при 
.
В
случае 4, когда действительные корни уравнения (4) имеют кратности 
, а комплексные корни имеют кратности 
можно доказать, что функции 
образуют фундаментальную систему решений
уравнения (1).
Осталось
напомнить, что согласно теореме 9 предыдущего параграфа, произвольное решение
уравнения (1) имеет вид: 
, где в качестве 
можно в каждом из рассмотренных случаев
выбрать построенные элементы фундаментальной системы решений.
