1.
Числовые ряды. Критерий Коши сходимости. Свойства сходящихся рядов
Пусть
- последовательность чисел. Рассмотрим величины 
(1).
Определение.
Если существует 
, то говорят, что сходится бесконечный
ряд 
(другое обозначение 
)
(2) и его сумма равна 
. Тригонометрическая
форма числа Такая форма записи называется тригонометрической формой записи
комплексного числа.
Если
же 
не существует, либо бесконечен, то говорят, что ряд (2) расходится. Величины
называются частичными суммами ряда.
Можно кратко переформулировать данное выше определение: Ряд сходится Û существует предел его частичных сумм.
Пример.
(геометрическая прогрессия). Из элементарной
алгебры: 
.
Если 
, то 
при 
и 
, т.е. ряд
сходится. Если 
, то 
при и ряд расходится. Если 
,
то ряд имеет вид 
. 
и 
. Если 
,
то 
. Такая последовательность не имеет предела,
так как у нее есть два различных предела (
и 0), а значит общий предел не существует.
Определение.
С бесконечным рядом (2) связаны ряды вида 
, называемые остатками
ряда 
.
Утверждение.
Ряд (2) сходится Û 
остаток - сходится.
Доказательство.
сходится Þ сходится 
. Но - это и есть исходный ряд.
. Ряд сходится Þ существует 
.
Но 
частичная сумма 
ряда имеет вид 
. Величина 
не зависит от 
. Кроме того, 
при . Поэтому существует 
. Утверждение доказано.
Итак,
исследование сходимости ряда и исследование сходимости любого его остатка – эквивалентные
задачи. Это означает, что при изучении сходимости достаточно рассматривать лишь
члены ряда, начиная с некоторого номера. Это не влияет на сходимость. Изменится
лишь сумма ряда.
Теорема.
(1).
Примечание.
Поскольку 
(2), неравенство (1)
можно заменить на неравенство 
.
Следствие.
(Необходимый признак сходимости ряда).
. Действительно, при 
получаем неравенство 
,
выполняющееся 
. Это значит, что 
.
Согласно этому следствию, мы получаем новое доказательство того, что ряд 
расходится при 
.
Важный
пример, показывающий, что необходимый признак сходимости отнюдь не является достаточным.
Пример.
Гармонический ряд 
. 
, т.е. общий
член стремится к 0. Покажем, что этот ряд расходится. Используем критерий Коши.
Следует доказать, что 
.
В
качестве 
выберем число 
. Берем любое
и любое 
. Пусть 
.
Тогда 
.
Теорема.
Пусть сходятся ряды , 
и 
- постоянная величина. Тогда сходятся ряды 
.
Доказательство.
Обозначая частичные суммы 
, 
получим,
что частичные суммы рядов равны соответственно 
, 
и 
. Эти величины
имеют пределы 
, 
,
. Теорема доказана.
