Интегрирование тригонометрических функций

 

Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим несколько видов интегралов от тригонометрических функций.

  − рациональная функция от   и . Это означает, что над аргументами производятся только рациональные операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в целые степени (положительные и отрицательные). Интегралы этого вида приводятся к рациональной функции от  универсальной тригонометрической подстановкой:

    , .

Следует заметить, что, применяя эту подстановку можно привести любую подынтегральную функцию  к рациональной дроби, но иногда получаются громоздкие дроби, которые трудно проинтегрировать.

Рассмотрим частные случаи, когда можно избежать универсальной подстановки.

.

Где  и  – целые положительные числа. Если  и  – четные, то используется тригонометрические формулы понижения степени,

, .

Пример 15. 

=

=

Если одно из чисел  или  – нечетное, или  и  – нечетные, то отделяем от нечетной степени один множитель и делаем замену  (или ) – .

Пример 16.

===.

Пример 17. .

Применим универсальную тригонометрическую подстановку: , , , .

;

Разложим дробь  на простейшие ;

Откуда .

Найдем коэффициенты разложения из системы:

    .

Проинтегрируем: =

.

Если   и  – дробные либо целые (отрицательные) числа и  – целое отрицательное число, тогда рекомендуется подстановка  

или   .

Пример 18. ;

т.к.  четное отрицательное число.

Используем подстановку , , , ;

=

Интегралы вида , , где >, >0

 вычисляются при помощи подстановки ,  и , .

Пример 19.

=

;

-  .

 

  *

Интегралы вид  

где ,  – действительные числа.

Напомним известные тригонометрические формулы:

 ;

 ;

 .

Заменив подынтегральные функции по этим формулам, получим интегралы, которые вычисляются просто.

Пример 20. =

=.

 

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач