Интегрирование тригонометрических функций

Математика
Типовой расчет по математике
Функции нескольких переменных
Примеры вычисления интегралов
Кратные интегралы
Криволинейные и поверхностные интегралы
Физика лабораторные работы
Строение атомов
Явление электромагнитной индукции
Законы сохранения в механике
Понятие о внутреннем трении
Интерференция света
Оптическая пирометрия
Изучение цепи переменного тока
Ядерные реакторы
Ядерная физика
Электротехника
Лекции, лабораторные и примеры расчета из курсовой
Трехфазные трансформаторы
Постоянный ток
Сила и плотность тока
Электрическая емкость. Конденсаторы
Закон Ома для замкнутой цепи
Закон Ома для однородного участка цепи
Сопромат
Контрольная работа по сопромату
Методика решения задач
Дополнительные задачи на сдвиг
Сложное сопротивление
Действие динамических нагрузок
Начертательная геометрия
Начертательная геометрия
Построить три проекции призмы
Машиностроительное черчение
Метрические задачи
Обозначения шероховатости поверхности
Основы теории теней
Введение в черчение
Информатика
Архитектура персонального компьютера
Программное обеспечение персонального компьютера
Операционная система Windows
Типы локальных сетей
Система управления базами данных MS Access
Операционная система Linux
Техническое обслуживание компьютера
Инструменты для разборки и чистки
Переформатирование жесткого диска
Системы резервирования данных
Гарантийные обязательства и сервисное обслуживание
Программы для восстановления данных
Ланшафт, архитектура
Ландшафтная архитектура
История и стили в архитектуре
Орнаментальное искусство
Орнаменты древнего мира
Древнегреческое орнаментальное искусство
Орнаменты Классицизма, Ампира, Модерна
Художественные стили
Авангардизм
Модернизм
Романский стиль
Ампир
Рококо
Буддизм
Модерн
Готическое искусство
Арт-дизайн
Зарождение арт-дизайна в проектировании мебели
Общие черты и этапы развития культуры ХХ века
Изобразительное искусство и архитектура
Важнейшее искусство XX века – кино
Русская усадьба
Максим Горький в семейной родословной
Кандинский
МОНДРИАН, ПИТ
АБСТРАКЦИОНИЗМ
Суть дизайнерской деятельности
Создание дизайн-концепции
Приемы озеленения территорий
Зонирование сада
Камень для ландшафтного дизайна

 

Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим несколько видов интегралов от тригонометрических функций.

  − рациональная функция от   и . Это означает, что над аргументами производятся только рациональные операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в целые степени (положительные и отрицательные). Интегралы этого вида приводятся к рациональной функции от  универсальной тригонометрической подстановкой:

    , .

Следует заметить, что, применяя эту подстановку можно привести любую подынтегральную функцию  к рациональной дроби, но иногда получаются громоздкие дроби, которые трудно проинтегрировать.

Рассмотрим частные случаи, когда можно избежать универсальной подстановки.

.

Где  и  – целые положительные числа. Если  и  – четные, то используется тригонометрические формулы понижения степени,

, .

Пример 15. 

=

=

Если одно из чисел  или  – нечетное, или  и  – нечетные, то отделяем от нечетной степени один множитель и делаем замену  (или ) – .

Пример 16.

===.

Пример 17. .

Применим универсальную тригонометрическую подстановку: , , , .

;

Разложим дробь  на простейшие ;

Откуда .

Найдем коэффициенты разложения из системы:

    .

Проинтегрируем: =

.

Если   и  – дробные либо целые (отрицательные) числа и  – целое отрицательное число, тогда рекомендуется подстановка  

или   .

Пример 18. ;

т.к.  четное отрицательное число.

Используем подстановку , , , ;

=

Интегралы вида , , где >, >0

 вычисляются при помощи подстановки ,  и , .

Пример 19.

=

;

-  .

 

  *

Интегралы вид  

где ,  – действительные числа.

Напомним известные тригонометрические формулы:

 ;

 ;

 .

Заменив подынтегральные функции по этим формулам, получим интегралы, которые вычисляются просто.

Пример 20. =

=.

 

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач