Пусть 
область.
Эта область называется односвязной, если вместе с любым замкнутым контуром
,
лежащем в ограничиваемая
контуром область
также
целиком содержится в .
Пример односвязной области: круг.
Пример неодносвязной области: круг с выколотой точкой. содержит
выколотую точку, а -
нет, следовательно не
входит в целиком.
Теорема 1. Пусть -
односвязная область, 
.
Условие, что 
равносильно
тому, что всюду в этой области 
.
Доказательство.
.
Если всюду в выполнено
равенство ,
то 
по
формуле Грина 
.
.
Предположим, что в области есть
точка 
,
в которой 
.
Пусть, для определенности, 
.
Тогда существует окрестность точки ,
в которой значения 
больше,
чем 
.
Выберем в этой окрестности окружность 
радиуса
и
рассмотрим 
По формуле Грина 
.
Это противоречит предположению о том, что 
должен
быть равен 0.
Определение. Пусть -
область, 
,
-
контур. Будем говорить, что 
не
зависит от формы пути в ,
если 
-
контуров с началом в точке 
и
концом в точке 
,
.
Теорема 2. Пусть -
область. Условие независимости от
формы пути в равносильно
тому, что для любого замкнутого контура 
.
Доказательство.
- ().
Пусть интеграл не зависит от формы пути и пусть
-
замкнутый контур в .
Выберем на две
произвольные точки 
и
и
рассмотрим соединяющие эти точки части контура ,
назовем их 
.
При этом состоит
из 
и
проходимого в противоположном направлении контура 
.
По условию, .
Значит, 
.
- ().
Пусть для любого контура
А) В случае, если ,
соединяющие точки 
не
имеют других общих точек, то, как и в предыдущей части, состоит
из и
проходимой в противоположном направлении .
Поэтому 
,
откуда .
Б) Если имеют
конечное число общих точек, кроме 
и
,
то можно применить пункт 2А к каждому
полученному контуру, интеграл по которому в связи с предположением равен 0,
и поэтому для каждой такой полученной части 
.
В) Случай, когда кроме и
кривые
имеют
бесконечное множество общих точек, мы оставим без доказательства.
Сопоставляя теорему 2 с теоремой 1, получаем следствие.
Следствие. Пусть -
односвязная область. 
не
зависит в от
формы пути интегрирования тогда и только тогда, когда в этой области выполняется
тождество .
