Курс лекций математического анализа

Мы будем рассматривать функции , определенные на квадрируемом (т.е. имеющем площадь) множестве . Если вспомнить теорию определенного интеграла, то мы начинали ее изложение с понятия разбиения отрезка . По аналогии, определим разбиение квадрируемого множества , как представление множества в виде объединения конечного числа квадрируемых частей, .

(Практически всегда представляет собой криволинейную трапецию или конечное объединение криволинейных трапеций. Можно считать, что и разбиение на части определяется с помощью непрерывных кривых, т.е. все - также криволинейные трапеции или их конечные объединения).

В одномерном случае мы рассматривали длины частей разбиения . В двумерном случае обобщение понятия длины будет площадь . Однако нам потребуется также и понятие диаметра . Эта величина определяется как точная верхняя грань расстояния между точками множества .

Определим диаметр разбиения как наибольший из диаметров частей этого разбиения.

Далее, как и в одномерном случае, выберем точки (было: ). Пусть имеет координаты . Важную роль в дальнейшем будет играть понятие интегральной суммы . Так же, как в одномерном случае, эта величина имеет простой геометрический смысл. Интегральная сумма равна объему тела, состоящего из цилиндров с высотой (для простоты считаем, что ) и основаниями - .

Определение. Пусть - ограниченная на квадрируемом множестве функция. Пусть . Если , то будем говорить, что - интегрируемая на функция и .

Замечание. Это определение несколько отличается от одномерного, в котором отсутствовало требование ограниченности функции . Мы тогда доказывали необходимое условие интегрируемости: если интегрируема на , то ограниченна на .

В двумерном случае мы накладывали это требование для того, чтобы избежать ненужных сложностей.

Критерий существования формировался в терминах сумм Дарбу вида , где , т.е. - нижняя грань, а - верхняя грань значений при .

Аналогично, обозначим, для ограниченной на функции , (эти числа существуют ввиду предполагаемой ограниченности на и, значит, на всех ) и определим суммы Дарбу равенствами . Эти величины представляют собой объемы тел, состоящих из цилиндров с основаниями и высотами, соответственно . Ясно, что при любом выборе .

Вполне аналогично одномерному случаю можно доказать критерий интегрируемости.

Теорема. Ограниченная интегрируема на квадрируемом

(На экзамене ограничиваемся формулировкой).

Из этого критерия следует теорема.

Теорема. Если непрерывна на квадрируемом множестве , то интегрируема на этом множестве.

(На экзамене достаточно формулировки).

Свойства двойных интегралов

Свойство 1. Если - интегрируемые на функции, а - числа, то . Иными словами, интеграл – линейный функционал.

Свойство 2. Если - интегрируема на , причем если площадь пересечения равна 0, то .

Свойство 3. Если - интегрируемая на функция и , то .

Свойство 4. Если - интегрируемые на и , то .

Свойство 5. Если - интегрируемая на функция, то - также интегрируемая, причем .

Свойство 6. Если - интегрируемая на функция, причем , где - ограничивающие множество значений числа, то ( - площадь ), т.е. : . Если, кроме того, - непрерывна на , то .

Доказывать эти свойства мы не будем – они вполне аналогичны свойствам обычного интеграла.

Можно доказать, что если - непрерывная на функция, то - интегрируема на .

Свойство 2 позволяет утверждать, что если имеет разрывы на лишь вдоль конечного числа непрерывных линий, разбивающих на квадрируемые области, то - интегрируема на , т.к., по свойству 2, интеграл по есть просто сумма конечного числа интегралов по полученным частям (где - непрерывна и, значит, интегрируема).