Применение интеграла в экономике

 

Применение интеграла в экономике:

Определение начальной суммы по её конечной величине, полученной через время   (лет) при годовом проценте (процентной ставке) , называется дисконтированием. Задачи такого рода встречаются при определении экономической эффективности капитальных вложений.

Пусть поступающий ежегодно доход изменяется во времени и описывается функцией   и при удельной норме процента, равной , процент начисляется непрерывно. Можно показать, что в этом случае дисконтированный доход K за время T вычисляется по формуле:

Пример: Определить дисконтированный доход за три года при процентной ставке 8%, если первоначальные (базовые) капиталовложения составили 10 млрд. руб., и намечается ежегодно увеличивать капиталовложения на 1 млрд. руб.

Решение: Очевидно, что капиталовложения задаются функцией . ( - на t умножается именно 1, т.к. ежегодно капиталовложения увеличиваются на 1 млрд. руб., прибавляется 10, т.к. первоначальные капиталовложения составили 10 млрд. руб.). Тогда в соответствии с формулой приведенной Выше дисконтированная сумма капиталовложений =30, 5 млрд. руб. Это означает, что для получения одинаковой наращенной суммы через три года ежегодные капиталовложения от 10 до 13 млрд. руб. равносильны одновременным первоначальным вложениям 30,5 млрд. руб. при той же, начисляемой непрерывно процентной ставке.

Вычисления см. ниже (использованы метод замены переменной и метод интегрирования по частям, а также формула Ньютона-Лейбница и некоторые табличные интегралы- т.е. применяется вся теория рассмотренная в нашей лекции).

(*)

Приложение к лекции : таблица интегралов и основных правил интегрирования

Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование заключается в том, чтобы преобразовать подынтегральное выражение, если это возможно, так чтобы получился дифференциал  а затем в таблице интегралов найти первообразную.

Пример 1. .

Выражение  заменили на . Получили интеграл  который можно отыскать в таблице интегралов, где

Пример 2. .

Здесь мы умножили подынтегральную функцию и разделили на 2, затем внесли 2 под знак дифференциала. Заменим  и получим табличный интеграл .

Проверим результат дифференцированием: .

Пример 3. .

В данном примере мы применили прием подведения под знак дифференциала  и постоянной 1. .

 

Пример 4.

,  т. к. , умножим и разделим подынтегральное выражение на –2. Здесь выражение  и получили табличный интеграл .

Проверка: .

Метод подстановки

 Пусть  имеет первообразную, а  непрерывна и дифференцируема, тогда . (4)

Пример 5. Найти .

Чтобы избавиться от корня, полагаем , отсюда . Найдем . Для этого продифференцируем равенство , получим ; тогда . Подставим  в подынтегральное выражение; получим интеграл вида: .

Итак, .

Пример 6. Найти .

 Здесь удобно применить тригонометрическую подстановку , с помощью которой мы избавимся от корня. Отсюда .

Тогда

Метод интегрирования по частям

Пусть   и  - непрерывно дифференцируемые функции от . На основании формулы дифференциала произведения имеем .

Интегрируя, получим  или . (5)

 Полученная формула интегрирования по частям позволяет сводить интеграл  к более простому .

 Рекомендации по применению формулы интегрирования по частям приведены в таблице:


Вид

подынтегральной

функции

Рекомендации

Ожидаемое
упрощение

подынтегрального

выражения

Произведение многочлена  на показательную или тригонометрическую функцию

Под интегралом степень многочлена уменьшится на единицу

Произведение многочлена  на логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию

Под интегралом вместо трансцендентной функции появится алгебраическая функция

Пример 7. 

== подставляя в формулу (5) получим =

==

.

  Иногда формула интегрирования по частям применяется несколько раз. Рассмотрим пример такого интеграла.

Пример 8. =

==

==

Здесь формулу интегрирования по частям мы применили к полученному интегралу еще раз.

Замечание. Иногда применение формулы интегрирования по частям приводит к исходному интегралу, который в таком случае называется циклическим или круговым.

Пример 9. Найти интеграл =.

Получили интеграл, в котором  заменился на .

Проинтегрируем еще раз по частям, обозначим:

Тогда  =

, т.е. пришли к искомому интегралу

Таким образом,

Найдем

Упрощая, получим:

Это пример циклического интеграла.

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач