Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции

Математика
Типовой расчет по математике
Функции нескольких переменных
Примеры вычисления интегралов
Кратные интегралы
Криволинейные и поверхностные интегралы
Физика лабораторные работы
Строение атомов
Явление электромагнитной индукции
Законы сохранения в механике
Понятие о внутреннем трении
Интерференция света
Оптическая пирометрия
Изучение цепи переменного тока
Ядерные реакторы
Ядерная физика
Электротехника
Лекции, лабораторные и примеры расчета из курсовой
Трехфазные трансформаторы
Постоянный ток
Сила и плотность тока
Электрическая емкость. Конденсаторы
Закон Ома для замкнутой цепи
Закон Ома для однородного участка цепи
Сопромат
Контрольная работа по сопромату
Методика решения задач
Дополнительные задачи на сдвиг
Сложное сопротивление
Действие динамических нагрузок
Начертательная геометрия
Начертательная геометрия
Построить три проекции призмы
Машиностроительное черчение
Метрические задачи
Обозначения шероховатости поверхности
Основы теории теней
Введение в черчение
Информатика
Архитектура персонального компьютера
Программное обеспечение персонального компьютера
Операционная система Windows
Типы локальных сетей
Система управления базами данных MS Access
Операционная система Linux
Техническое обслуживание компьютера
Инструменты для разборки и чистки
Переформатирование жесткого диска
Системы резервирования данных
Гарантийные обязательства и сервисное обслуживание
Программы для восстановления данных
Ланшафт, архитектура
Ландшафтная архитектура
История и стили в архитектуре
Орнаментальное искусство
Орнаменты древнего мира
Древнегреческое орнаментальное искусство
Орнаменты Классицизма, Ампира, Модерна
Художественные стили
Авангардизм
Модернизм
Романский стиль
Ампир
Рококо
Буддизм
Модерн
Готическое искусство
Арт-дизайн
Зарождение арт-дизайна в проектировании мебели
Общие черты и этапы развития культуры ХХ века
Изобразительное искусство и архитектура
Важнейшее искусство XX века – кино
Русская усадьба
Максим Горький в семейной родословной
Кандинский
МОНДРИАН, ПИТ
АБСТРАКЦИОНИЗМ
Суть дизайнерской деятельности
Создание дизайн-концепции
Приемы озеленения территорий
Зонирование сада
Камень для ландшафтного дизайна

 

Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции.

 К таким интегралам относится интеграл вида , где Р(х)- многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются э ллиптическими.

 Если степень многочлена Р(х) выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим.

 Если все – таки интеграл такого вида выражается через элементарные функции, то он называется псевдоэллиптическим.

 Не могут быть выражены через элементарные функции следующие интегралы:

 - интеграл Пуассона ( Симеон Дени Пуассон – французский математик (1781-1840))

 - интегралы Френеля (Жан Огюстен Френель – французский ученый (1788-1827) - теория волновой оптики и др.)

  - интегральный логарифм

  - приводится к интегральному логарифму

 - интегральный синус

  - интегральный косинус

 

Интегрирование функций

(приложение – таблица и свойства интегралов-

в отдельных файлах)

Огромное число приложений в различных науках приводят к следующей задаче: по данной функции  найти такую функцию , производная которой равна функции

Определение 1:Функция  называется первообразной для функции

на промежутке X, если для любого  функция  дифференцируема и выполняется равенство:

Пример 1: Функция  первообразная для функции  на промежутке , так как для каждой точки этого интервала выполняется равенство .

Заметим, что задача отыскания по заданной функции  её первообразной неоднозначна; если  первообразная, то и функция , где  произвольное

постоянное число, также первообразная для функции , так как  (т.к. производная суммы равна сумме производных, а производная постоянной равна 0).

Определение 2. Совокупность всех первообразных функций для функции  на промежутке X называется неопределённым интегралом от функции  на этом промежутке и обозначается символом:

.

В этом обозначении знак  называется знаком интеграла,  - подынтегральной функцией,  - подынтегральным выражением, а переменная  - переменной интегрирования.

Операция нахождения первообразной по её производной (или неопределённого интеграла по заданной подынтегральной функции) называется интегрированием этой функции. Интегрирование является операцией обратной дифференцированию. Для проверки правильности выполнения интегрирования нужно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

  Проверка:

 

Метод непосредственного интегрирования для вычисления определённых интегралов (используются только свойства и таблица интегралов):

Пример 2:

Использовали:

св-во 3 неопределенного интеграла : постоянный множитель можно выносить за знак интеграла)

св-во 4 неопределённого интеграла: интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов

св-во 2 неопределённого интеграла

табличные интегралы:

(VI)

(V)

Вычисление интегралов методом замены переменной

Если , то - дифференциал

Пример 3:

Использовали табличный интеграл:

 () (I) для - см. таблицу интегралов (вместо x у нас t)

Вычисления интегралов методом интегрирования по частям

- формула интегрирования по частям

если , то  ß как найти du и v , если u и dv известны

  а , то

Пример 4:

Пример 5:

Формула Ньютона- Лейбница

Пусть функция  непрерывна на отрезке [а;b] и  - её первообразная на этом отрезке (т.е.

Тогда

Пример 6 (на применение формулы Ньютона-Лейбница)

Применили св-ва:

св-во 3 неопределенного интеграла : постоянный множитель можно выносить за знак интеграла)

св-во 4 неопределённого интеграла: интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов

табличные интегралы:

(VI)

(V)

(I)

+ правило Ньютона-Лейбница для определённых интегралов

Применение определённого интеграла для вычисления площадей и объёмов

 Вычислить

а). Площадь под кривой ,

 - формула для расчёта площади под кривой  (

б).Объём тела, образованного вращением кривой ,  вокруг оси OX

см. след. стр.

 

(На первой картинке изображено  то что вращаем, на второй – результат вращения)

 формула для расчёта объёма тела, получаемого при вращении кривой  ( вокруг оси OX

 

 

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач