Элементарные преобразования.

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:

 1) умножение строки на число, отличное от нуля;

  2) прибавление к одной строке другой строки;

  3) перестановка строк;  

4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

  5) транспонирование; Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями. С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк ( столбцов ).  

Миноры. Выше было использовано понятие дополнительного минора матрицы. Дадим определение минора матрицы.  Степенные ряды Примеры решения задач математика

Определение. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s.   Заметим, что вышесказанное применимо не только к квадратным матрицам, но и к прямоугольным.  Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и столбцы, то определитель полученной матрицы будет являться дополнительным минором.

Алгебраические дополнения.

Гексаэдр - правильный шестигранник Вычислим интеграл Математика Задачи Ортогональная система координат в пространстве Математическая модель

Определение. Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его дополнительный минор

, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы. В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное.  

Теорема Лапласа. Если выбрано s строк матрицы с номерами i₁, … ,i_s, то определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения.

Обратная матрица. Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.

 Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию: XA = AX = E, где Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.  Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.   Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы. Исходя из определения произведения матриц, можно записать: AX = E Þ , i=(1,n), j=(1,n), e_ij = 0, i ¹ j, e_ij = 1, i = j . Таким образом, получаем систему уравнений: , Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.

  Пример. Дана матрица А = , найти А^-1.   Таким образом, А^-1=. Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу: , где М_ji- дополнительный минор элемента а_ji матрицы А.

 Пример. Дана матрица А = , найти А^-1. det A = 4 - 6 = -2. M₁₁=4; M₁₂= 3; M₂₁= 2; M₂₂=1  x₁₁= -2; x₁₂= 1; x₂₁= 3/2; x₂₂= -1/2 Таким образом, А^-1=.