Интегрирование рациональных дробей

Математика
Типовой расчет по математике
Функции нескольких переменных
Примеры вычисления интегралов
Кратные интегралы
Криволинейные и поверхностные интегралы
Физика лабораторные работы
Строение атомов
Явление электромагнитной индукции
Законы сохранения в механике
Понятие о внутреннем трении
Интерференция света
Оптическая пирометрия
Изучение цепи переменного тока
Ядерные реакторы
Ядерная физика
Электротехника
Лекции, лабораторные и примеры расчета из курсовой
Трехфазные трансформаторы
Постоянный ток
Сила и плотность тока
Электрическая емкость. Конденсаторы
Закон Ома для замкнутой цепи
Закон Ома для однородного участка цепи
Сопромат
Контрольная работа по сопромату
Методика решения задач
Дополнительные задачи на сдвиг
Сложное сопротивление
Действие динамических нагрузок
Начертательная геометрия
Начертательная геометрия
Построить три проекции призмы
Машиностроительное черчение
Метрические задачи
Обозначения шероховатости поверхности
Основы теории теней
Введение в черчение
Информатика
Архитектура персонального компьютера
Программное обеспечение персонального компьютера
Операционная система Windows
Типы локальных сетей
Система управления базами данных MS Access
Операционная система Linux
Техническое обслуживание компьютера
Инструменты для разборки и чистки
Переформатирование жесткого диска
Системы резервирования данных
Гарантийные обязательства и сервисное обслуживание
Программы для восстановления данных
Ланшафт, архитектура
Ландшафтная архитектура
История и стили в архитектуре
Орнаментальное искусство
Орнаменты древнего мира
Древнегреческое орнаментальное искусство
Орнаменты Классицизма, Ампира, Модерна
Художественные стили
Авангардизм
Модернизм
Романский стиль
Ампир
Рококо
Буддизм
Модерн
Готическое искусство
Арт-дизайн
Зарождение арт-дизайна в проектировании мебели
Общие черты и этапы развития культуры ХХ века
Изобразительное искусство и архитектура
Важнейшее искусство XX века – кино
Русская усадьба
Максим Горький в семейной родословной
Кандинский
МОНДРИАН, ПИТ
АБСТРАКЦИОНИЗМ
Суть дизайнерской деятельности
Создание дизайн-концепции
Приемы озеленения территорий
Зонирование сада
Камень для ландшафтного дизайна

 

Интегрирование рациональных дробей.

 Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

 Теорема: Если  - правильная рациональная дробь (m<l), знаменатель Pl(x) которой (напомним, что любой многочлен с действительными коэффициентами имеет корни действительные и комплексные, которые могут быть простые и кратные, число корней равно порядку многочлена) может быть представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей

 Pl(x) = (x - a)a…(x - b)b(x2 + px + q)l…(x2 + rx + s)m ), то эта дробь может быть разложена на сумму простых дробей по следующей схеме:

где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины, общее число этих постоянных равно порядку многочлена.

 При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.

 Пример 26.

Т.к.  (, то

Приводим к общему знаменателю в правой части и из условия равенства дробей ,

приравниваем соответствующие числители

Выделяем в левой части коэффициенты при соответствующих степенях и из условия равенства многочленов

получаем систему уравнений для нахождения коэффициентов А,В,С,D

 

 

   

Итого: =

Интегрирование некоторых тригонометрических функций.

 Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.

Интеграл вида .

 Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx.

Интегралы этого вида вычисляются с помощью универсальной подстановки . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

Тогда 

Таким образом:

Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.

 Пример 27.

  Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.

 Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.

 Пример 28.

Интеграл вида  если

функция R является нечетной относительно cosx.

Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx.

 

Функция   может содержать cosx только в четных степенях, а следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx.

  Пример 29.

 Вообще говоря, для применения этого метода необходима только нечетность функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в функцию может быть любой, как целой, так и дробной.

Интеграл вида  если

функция R является нечетной относительно sinx.

 По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx.

Тогда

  Пример 30.

Интеграл вида

функция R четная относительно sinx и cosx.

  Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка t = tgx.

Тогда

 Пример 31.

Интеграл произведения синусов и косинусов

различных аргументов.

В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:

  Пример 32.

 Пример 33.

 Иногда при интегрировании тригонометрических функций удобно использовать общеизвестные тригонометрические формулы для понижения порядка функций.

 Пример 34.

  Пример 35.

 Иногда применяются некоторые нестандартные приемы.

 Пример 36.

Итого 

Разберите самостоятельно следующие примеры:

 

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач