Понятие трехфазной системы ЭДС Расчет трехфазной цепи переменного тока Трехфазные трансформаторы Исследование однофазного трансформатора Электротехника и электроника Комплексный метод расчета цепей синусоидального тока

Примеры выполнения заданий курсовых и лабораторных работ по электротехнике и электронике

Комплексный метод расчета цепей синусоидального тока

 Широкое распространение на практике получил метод расчета цепей синусоидального тока, который принято называть комплексным. Сущность метода состоит в том, что синусоидальные токи, напряжения и ЭДС изображаются комплексными числами, а геометрические операции над векторами заменяются алгебраическими операциями над комплексными числами. Этот метод позволяет рассчитывать цепи синусоидального тока алгебраически аналогично цепям постоянного тока.

. Векторное представление синусоидальных величин

Вращающийся вектор, который изображает синусоидальную функцию, можно поместить на комплексную плоскость, в систему перпендикулярных осей:   – действительных чисел,  – мнимых чисел. Положительные направления осей на комплексной плоскости обозначаются индексами: +1 – ось действительных чисел; + – ось мнимых чисел, где = – мнимая единица (рис. 2.17).

  а) б) в)

Рис. 2.17

 Известно, что координаты точки на комплексной плоскости определяются радиусом–вектором этой точки, т.е. вектором, начало которого совпадает с началом координат, а конец находится в точке, соответствующей заданному комплексному числу (рис. 2.17 а).

 Показательная форма записи

где  – модуль; – аргумент или фаза, отсчитываемая от оси +1 против часовой стрелки.

 Применив формулу Эйлера, можно получить тригонометрическую и соответственно алгебраическую форму записи комплексного числа:

,

где .

 Очевидно

.

 Заменим в уравнении для показательной формы записи  на , а на . Получим комплекс тока

,  (2.39)

который является символическим (комплексным) изображением функции  и называется комплекс мгновенного значения тока.

 Комплексы обозначаются теми же буквами, что и их действительные оригиналы, только с чертой внизу. Модуль комплекса мгновенного значения   равен амплитуде синусоидального тока , а его переменный аргумент () является аргументом изображаемой синусоиды (рис. 2.17 б). Из формулы (2.39) можно записать комплекс тока в тригонометрической форме

,

а также получить изображение функции (оригинала)

,  (2.40)

т.е. мгновенное значение тока равно мнимой части комплекса мгновенного значения тока. Ток (2.39) можно представить в виде

,

где  является другим символом, называемым комплексом амплитудного значения. Это аналитическое представление неподвижного вектора, длина которого равна амплитуде тока, а угол между направлениями вектора и осью «+1» на комплексной плоскости равен начальной фазе   (рис. 2.17 в). Комплексом действующего значения называют изображение

  Пример 2.2. Записать комплексы действующих значений напряжения и тока, если их мгновенные значения представлены уравнениями

, А.

 Решение. Действующее значение напряжения =200 В, начальная фаза  = –120°. В соответствии с определением комплекс действующего значения напряжения

  В.

 Аналогично для тока  = 14,1 А, начальная фаза тока  = –60°, а комплекс тока

  А.

 Пример 2.3. Для комплекса действующего значения напряжения

  B

записать мгновенное значение.

 Решение. От алгебраической формы переходим к показательной

  B,

где  В; .

Комплекс находится во второй четверти комплексной плоскости.

 Мгновенное значение напряжения

, B.

 В заключение рассматриваемого вопроса рекомендуем усвоить следующие очевидные равенства

;  и т.д.

;

.

  Отметим, что умножение на оператор  означает поворот вектора на 90° против часовой стрелки, а умножение на  означает поворот вектора на 90° по часовой стрелке.

  2.4.2. Комплекс полного сопротивления и комплекс полной
проводимости. Законы Кирхгофа в комплексной форме

Отношение комплекса напряжения к комплексу тока называется комплексом полного сопротивления цепи

.  (2.41)

 Модуль комплексного сопротивления равен полному сопротивлению , его аргумент – углу сдвига фаз . Комплексное сопротивление в алгебраической форме выглядит следующим образом

. (2.42)

  Следовательно, активное сопротивление есть вещественная часть, а реактивное – мнимая часть комплекса полного сопротивления цепи. Частные случаи формулы (2.42) приведены в таблице 2.1

Таблица 2.1

Участок электрической цепи

Комплексное сопротивление

 Величина, обратная комплексу полного сопротивления, называется комплексом полной проводимости

,  (2.43)

где , ,  – полная, активная, реактивная проводимости цепи соответственно.

 Для цепей синусоидального тока законы Кирхгофа формулируются так же, как и для цепей постоянного тока, но только для комплексных значений токов и напряжений. Первый закон Кирхгофа: «алгебраическая сумма комплексов тока в узле электрической цепи равна нулю»

.  (2.44)

 Второй закон Кирхгофа: «в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексных ЭДС равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех пассивных элементах этого контура»

.  (2.45)

 Таким образом, при комплексном представлении всех параметров методы расчета сложных цепей постоянного тока, основанные на законах Ома и Кирхгофа (контурных токов, узловых потенциалов, эквивалентного генератора, преобразования и др.), можно применять для расчета цепей синусоидального тока.

Анализ цепей синусоидального тока с помощью векторных диаграмм Совокупность векторов, изображающих синусоидальные ЭДС, напряжения и токи одной частоты и построенных на плоскости с соблюдением их ориентации друг относительно друга, называют векторной диаграммой. Векторные диаграммы широко применяются при анализе режимов работы цепей синусоидального тока, что делает расчет цепи наглядным.

Неразветвленная цепь синусоидального тока Рассмотрим цепь из трех последовательных токоприемников : первые два имеют активно-индуктивный характер, третий является последовательным соединением резистора и конденсатора. Проведем анализ цепи по векторной диаграмме. Произвольно строим вектор тока, который является базовым для всех векторов диаграммы.

Мощности в комплексной форме

Электрические цепи с взаимной индуктивностью При рассмотрении цепей синусоидального тока до сих пор учитывалось только явление самоиндукции катушек, обусловленное током в цепи. Цепи, в которых наводятся ЭДС между двумя (и более) взаимно связанными катушками, называются индуктивно связанными цепями. Рассмотрим явление возникновения ЭДС в одном из контуров при изменении тока в другом.

Понятие переходного процесса При изучении предыдущего материала рассматривались установившиеся режимы работы электрических цепей с сосредоточенными параметрами, т.е. режимы, которые устанавливаются в цепи при неизменных напряжении, токе, сопротивлении и др.

Переходные процессы в цепи с резистором и конденсатором Короткое замыкание цепи с резистором и конденсатором (разряд конденсатора на резистор)


Работа электрической машины постоянного тока в режиме генератора