Типовой расчет по математике Функции нескольких переменных Примеры вычисления интегралов Кратные интегралы Криволинейные и поверхностные интегралы

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач

Структура решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

  (1)

действительные числа; f – непрерывная функция переменного х.

Определение. Если то уравнение 

  (2)

называется однородным дифференциальным уравнением, соответствующим уравнению (1).

Если то уравнение (1) называется неоднородным.

Теорема 1(структура общего решения уравнения (1)).

Если известно какое-нибудь частное решение (yч.н.) неоднородного уравнения (1),то его общее решение (yо.н) есть сумма общего решения (yо.о.) соответствующего однородного уравнения (2) и частного решения (yч.н.): yо.н.= yо.о+ yч.н.

Теорема 2(структура общего решения уравнения (2)).Если и - частные решения уравнения (2), причем отношение ( по другому, и - линейно-независимые решения ), то их линейная комбинация есть общее решение (yо.о.) этого уравнения:

yо.о.=c1+c2.

Cледствие. Максимальное число линейно-независимых решений уравнения (2) равно его порядку, то есть двум (и ).

Определение. Система {,}, функции которой удовлетворяют условиям теоремы 2, называется фундаментальной системой решений (ФСР) уравнения (2).

Существуют общие методы нахождения ФСР. Один из них это метод Эйлера. Суть его в следующем.

Решением однородного уравнения (2) может быть экспоненциальная функция вида так как она сохраняет свой вид при дифференцировании: и , где к – постоянная.

Подставив  в уравнение (2), имеем Квадратное уравнение (3) называется характеристическим уравнением однородного уравнения (2). Решив характеристическое уравнение, построим ФСР. Таким образом, найдем все частные решения уравнения (2).

Указание 1.

Постановка задачи. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

.

  План решения.

1. Составим характеристическое уравнение

 

Найдем его корни .

2. В зависимости от значений и , построим ФСР и запишем общее решение уравнения (2). При этом выделяют три случая:

Если корни и  уравнения (3)действительные и , тогда ФСР имеет вид {} и общее решение запишется так

Если корни и  уравнения (3)действительные и , тогда ФСР имеет вид {} и общее решение запишется так

Если уравнение (3) имеет комплексно – сопряженные корни:

тогда ФСР имеет вид {} и общее решение запишется так

 

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

 

 Решение.

1. Составим характеристическое уравнение

 

Решим полученное квадратное уравнение:

 

2. Так как и  - комплексно – сопряженные корни, тогда ФСР имеет вид {} и общее решение запишется так

Указание 2.

Постановка задачи. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

  (1)

План решения. По теореме (1)

 yо.н.= yо.о+ yч.н.. ()

1. Найдем общее решение (yо.о) соответствующего однородного уравнения

  (2)

решив характеристическое уравнение

  (3)

 (см. предыдущую задачу).

2. Ищем какое – либо частное решение (yч.н.) неоднородного уравнения (1), применяя метод подбора частных решений:

различным представлениям правой части f(x) уравнения (1) соответствуют свои виды частного решения yч.н.

 Возможны следующие случаи:

Если правая часть уравнения (1) имеет вид

, где - многочлен степени n, тогда, если

 - не корень (3) (и), то yч.н=;

  - однократный корень (3) (=либо =), то yч.н= 

  - двукратный корень (3) (==), то yч.н=

где - многочлен степени n с неопределенными коэффициентами.

 , где M, N – числа, тогда, если

- не корни (3) (и ()), то yч.н=

b) - корни (3) (=и ()=), то yч.н= где A, B – числа.

 , тогда, если

не корни (3) (и ), то yч.н=

корни (3) (=и ()=), то yч.н=

 где и

- многочлены степени l с неопределенными коэффициентами.

3. Находим неопределенные коэффициенты, подставляя построенное yч.н в исходное уравнение (1).

4. Записываем ответ по формуле().


Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла