Типовой расчет по математике Функции нескольких переменных Примеры вычисления интегралов Кратные интегралы Криволинейные и поверхностные интегралы

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

Уравнения вида

Постановка задачи. Найти общее решение дифференциального уравнения

  (1)

План решения. Решение такого вида уравнения находится 2 – кратным интегрированием:

1. Поскольку  то уравнение (1) перепишется в виде

Умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем. Имеем

где с1 – произвольная постоянная.

2. Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции y(x). Решим его, представив как  

Интегрируем обе части равенства:

 

Записываем ответ: общее решение определяется уравнением () при всевозможных значениях с1 и с2.

Пример. Найти общее решение уравнения

Решение. Здесь

Проинтегрируем последовательно уравнение два раза:

1. Поскольку  то уравнение перепишется в виде

Применяя непосредственное интегрирование, придем к

дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными, где с1 – произвольная постоянная.

2. Найдем его общее решение, представив как  

Интегрируем обе части равенства:

Имеем 

Ответ: общее решение определяется уравнением  при всевозможных значениях с1 и с2.

Уравнения вида  

 Постановка задачи. Найти общее решение дифференциального уравнения

  (1)

которое не содержит явно искомую функцию y. 

 План решения.

1. Выполним подстановку где р – некоторая функция от х. Получим дифференциальное уравнение первого порядка относительно неизвестной функции р:

  (2)

2. Определим вид уравнения (2). Применив соответствующий способ решения, имеем

  (3)

где с1 – произвольная постоянная.

3. Найдем искомую функцию y. Так как  то в силу (3), придем к

уравнению с разделяющимися переменными. Решив его, запишем ответ в виде   где с1, c2 – произвольные постоянные.

 Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

 Решение. Данное уравнение не содержит явно искомую функцию y.

1. Выполним подстановку 

Получим

2. Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно неизвестной функции р. Решим его с помощью подстановки

имеем

V - ? U - ?

3. Так как то, в силу (4), придем к

уравнению с разделяющимися переменными. Найдем его общее решение, представив как

 

Ответ: общее решение определяется уравнением  при всевозможных значениях с1 и с2.


Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла