Типовой расчет по математике Функции нескольких переменных Примеры вычисления интегралов Кратные интегралы Криволинейные и поверхностные интегралы

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно содержит искомую функциюи ее производнуюв первой степени и не содержит их произведений. В общем случае оно имеет вид

  (1) где коэффициенты A, B, C – заданные непрерывные функции от х. Предполагая, что в некотором интервале изменения х функция  разделим обе части уравнения на

Обозначая через  перепишем уравнение в виде

  

Определение. Если  то уравнение

называется линейным однородным (линейным уравнением без правой части).

Если   то уравнение называется линейным неоднородным (линейным уравнением с правой частью).

Замечание. Линейное однородное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

  Указание 1.

Постановка задачи. Решить задачу Коши для линейного дифференциального уравнения

  (2)

с начальным условием 

 у(х0)=у0,  (2/)

где непрерывные функции; в частности, могут быть постоянными величинами.

 План решения.

1) Выполним замену 

где U, V – неизвестные функции от х.

2) Подставим в уравнение (2) вместо и их выражения из (3), получим

 

Выносим во втором и третьем слагаемых U за скобки:

   (4) 

3) Так как вместо одной неизвестной функции y теперь требуется найти две функции и удовлетворяющих уравнению (4), то любую из них (U или V) можно выбрать произвольно.

Выберем V произвольно: приравняем в (4) выражение при U к нулю и будем искать V как некоторое ненулевое частное решение уравнения (с разделяющимися переменными)

 

Из (4), в силу равенства (5), находим, что другая неизвестная функция U должна удовлетворять уравнению

  (6)

4) Подставив V(x) в уравнение (6), ищем его общее решение U=U(x,c).

5) Записываем общее решение уравнения (2) в виде

6) Используя начальное условие (2/), получаем решение поставленной задачи Коши.

Записываем ответ в виде .

Пример. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения

с начальным условием y(0)=0.

Решение. Это линейное неоднородное уравнение, где

1) Ищем решение уравнения в виде

 

2) Подставляя значения и в данное уравнение, придем к

Выносим во втором и третьем слагаемом U за скобки:

 

3) Выберем V так, чтобы выражение в скобках при U обратилось в ноль:

Это уравнение с разделяющимися переменными, решим его. Имеем

или, разделяя переменные, получим

Интегрируем:

Так как нас интересует ненулевое частное решение этого уравнения, положим с=0; тогда

4) Теперь уравнение () примет вид уравнения с разделяющимися переменными

или

интегрируем

5) Найдем искомую функцию y, помня, что

Таким образом,

  (8)

общее решение.

6) Используя начальное условие y(0)=0, получаем

(-cos0+c)(-5)=0,

находим c=1 и подставляем в общее решение (8).

Ответ. y=(1-cosx)(x2-5).


Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла