Типовой расчет по математике Функции нескольких переменных Примеры вычисления интегралов Кратные интегралы Криволинейные и поверхностные интегралы

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач

Однородные дифференциальные уравнения.

Постановка задачи. Найти общий интеграл однородного дифференциального уравнения, то есть, дифференциального уравнения вида

  (1)

где Р(x, y) и Q(x, y) – однородные функции порядка к:

План решения.

Векторное поле Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

1) Представим уравнение (1) в виде

2) Выполним подстановку  где u=u(x) – новая искомая функция. При этом Получим уравнение с разделяющимися переменными:

В результате преобразований придем к

  (2) 

3) В области, где  умножим обе части равенства (2) на  Построим уравнение с разделенными переменными вида

  (3)

4) Интегрируя, получим общее решение

Делаем замену  и записываем ответ.

Замечание 1. Подстановку в уравнение (1) можно выполнить сразу, учитывая, что 

Замечание 2. Если уравнение имеет корень u=u0, то решением уравнения (1) будет еще и y=xu0.

Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

   

Решение.

1) Представим уравнение в виде 

  ()

Это уравнение однородное, так как при замене x на tx и y на ty оно не изменится. Действительно,

Разделим числитель и знаменатель правой части уравнения () на xy, получим

2) Выполним подстановку  где u(x) – новая неизвестная функция. Тогда и уравнение приводится к виду

В результате преобразований получим

.

3) Разделяем переменные в последнем уравнении, умножив обе части равенства на

.

4) Интегрируя, получим

Теперь вернемся к переменной y, для чего заменим u на

то есть,

- общий интеграл.


Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла