Типовой расчет по математике Функции нескольких переменных Примеры вычисления интегралов Кратные интегралы Криволинейные и поверхностные интегралы

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Постановка задачи. Найти общий интеграл дифференциального уравнения вида

  (3)

где непрерывные функции или постоянные.

План решения.

1) В области, где и , разделим обе части уравнения (3) на  получим уравнение с разделенными переменными

   (4)

2) Проинтегрируем обе части уравнения (4)

  (5) 

и запишем ответ в виде: общий интеграл определяется уравнением  при любых значениях с.

Определение. Дифференциальное уравнение (3) называют уравнением с разделяющимися переменными.

Замечание 1. В ходе преобразования уравнения (3) выполнили деление на . При этом могут быть потеряны некоторые решения уравнения (3).

Если   и  - решения уравнения которые удовлетворяют (3) и не входят, ни при каком значении с, в его общее решение, то, так называемые, особые решения  и уравнения нужно дописать к ответу (5).

Замечание 2. Если уравнение (2) можно представить в виде

то, учитывая, что , получим уравнение с разделяющимися переменными.

Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

  Решение. Учитывая, что , преобразуем уравнение к виду 

- это уравнение с разделяющимися переменными. Здесь

1) В области, где и разделим обе части уравнения на  получим уравнение с разделенными переменными вида

2) Проинтегрируем обе части этого уравнения

(1)

- общий интеграл.

Упростим решение, если в качестве с возьмем

или - общий интеграл уравнения .

  Исследуем условия  и  

и

Значения

 не удовлетворяет уравнению ;

 и удовлетворяют уравнению и входят при с1=0 в его общее решение.

Ответ: - общий интеграл.


Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла