Типовой расчет по математике порнуха смотреть | На сайте http://www.vulkan-mania.com игровые автоматы Вулкан. Функции нескольких переменных Примеры вычисления интегралов Кратные интегралы Криволинейные и поверхностные интегралы

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач

Криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля

Типовые примеры и их решения

Пример 12. Вычислить линейный интеграл векторного поля

вдоль прямолинейного отрезка , где  и .

Решение. В данном примере согласно формуле (98)

.

Каноническое уравнение прямой

  или .

Отсюда имеем

  и ,

а   вдоль  изменяется от 1 до 3.

Подставив выражения  и  в формулу для линейного интеграла и приведя подобные члены, находим

Пример 13. Найти работу силового поля  по одному витку дуги  винтовой линии , где точки  и  соответственно получаются при  и .

Решение. Так как , то по формуле (99)

Пример 14. Найти циркуляцию векторного поля  по контуру , получаемому при пересечении параболоида  с координатными плоскостями (рис. 49).


Решение. В данном примере имеем

если

На  и , следовательно,  и , тогда .

При перемещении по дуге  от точки А до точки   возрастает от 0 до 2, поэтому

.

На .

Следовательно, .

Используя уравнение параболы , имеем .

При перемещении по дуге  от точки до точки   возрастает от 0 до 4, поэтому

.

На , т. е. .

Из уравнения параболы  находим , тогда

.

При перемещении по дуге  от точки  до точки  возрастает от 0 до 2, поэтому

Таким образом,

Замечание. Вычислим циркуляцию векторного поля по формуле Стокса (103).

В данной задаче в качестве поверхности, «натянутой» на контур, возьмем поверхность . Единичный вектор нормали к этой поверхности определяется по формуле

, где ;

поэтому , откуда , нормаль  обеспечивает требуемое теоремой Стокса направление обхода контура  (видимый с конца этого вектора обход контура  совершается против часовой стрелки).

Ротор данного поля вычислим по формуле (104)

По теореме Стокса (103)

,

но

Следовательно,

Пример 15. Дано векторное поле . Показать, что поле  потенциальное и найти его потенциал.

Решение. Для данного примера в начале найдем :

.

Следовательно, в силу условия (107) поле потенциальное. Потенциал поля найдем по формуле (109), положив в ней . Тогда

.

Таким образом,  является потенциалом поля . Действительно, .

Полученный потенциал найден с точностью до постоянного слагаемого. Все числовые значения, которые получаются при вычислении интегралов, включаются в одну постоянную .

Пример 16. Доказать, что поле  – потенциальное и соленоидальное. Найти его векторный потенциал.

Решение. Для данного примера найдем дивергенцию .

По формуле (97)

.

Следовательно, поле  – соленоидальное.

Определим :

.

Следовательно, поле  – потенциальное.

По формуле (111) найдем векторный потенциал. В нашем случае

 

и

по формуле (111) найдем векторный потенциал:

Полученный векторный потенциал определен с точностью до градиента произвольного поля .


Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла