Типовой расчет по математике Функции нескольких переменных Примеры вычисления интегралов Кратные интегралы Криволинейные и поверхностные интегралы

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач

Криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля

Типовые примеры и их решения

Пример 10. Вычислить , где  – внешняя сторона части сферы  (рис. 47).

Решение. В нашем случае будем вычислять каждый из слагаемых поверхностных интегралов второго рода отдельно. В первом из них надо выразить  через  и  из уравнения сферы

.

Так как вектор нормали к указанной стороне поверхности образует тупой угол с осью , то, переходя к двойному интегралу (см. формулу (89)), надо взять знак минус :

.

Данная часть сферы проектируется на плоскость  в часть круга радиуса , с центром в начале координат, расположенном в первой четверти, поэтому для нахождения двойного интеграла перейдем к полярным координатам

Получим

Аналогично,

Здесь при вычислении  была использована формула (88), причем знак плюс взят потому, что выбранная нормаль  образует с осью  острый угол .

Таким образом, .

Пример 11. Вычислить поток векторного поля

через полную поверхность треугольной пирамиды с вершинами , ,  и .

Решение. При вычислении потока данного примера придется рассмотреть сумму потоков, т. к. поверхность  состоит из четырех частей (рис. 48)

где  – соответственно нормали к поверхностям  и .

Будем вычислять каждый из слагаемых интегралов отдельно. В первом интеграле   взаимно однозначно проектируется, например, на плоскость , а уравнение его плоскости .

Принимая

,

найдем единичный вектор нормали к этой плоскости по формуле (92)

.

Здесь , что и соответствует нормали к внешней стороне треугольника. После этого находим

Во втором интервале ,  и

.

В третьем интеграле  и .

В четвертом интеграле  и

Окончательно получаем

.

Дадим еще одно решение этой задачи с помощью теоремы Остроградского:

поэтому

где  – объем пирамиды .


Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла