Типовой расчет по математике Функции нескольких переменных Примеры вычисления интегралов Кратные интегралы Криволинейные и поверхностные интегралы

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач

Криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля

Типовые примеры и их решения

Пример 7. Вычислить , где  – окружность

,

пробегаемая против хода часовой стрелки.

Решение. Контур  – замкнутый,

  и ,

поэтому по формуле Грина данный интеграл равен нулю.

Пример 8. Найти моменты инерции относительно осей координат участка однородной прямой , лежащего между осями координат в плоскости .

Решение. Пример на приложение криволинейного интеграла. Как отмечалось ранее, формулы для вычисления моментов инерции дуги кривой относительно осей координат аналогичны соответствующим формулам с использованием двойного интеграла для плоской пластины. А именно:

Пример 9. Вычислить , где  – часть плоскости , лежащая в I октанте (рис. 46).

Решение. Данный интеграл – поверхностный интеграл по площади поверхности (первого рода).

Для вычисления данного интеграла спроектируем поверхность  на плоскость . Проекцией является треугольник , ограниченный прямыми . В этом треугольнике  меняется от 0 до 2, а при каждом фиксированном  ордината меняется от   до .


Уравнение плоскости запишем в виде . Так как , то

Учитывая, что , по формуле (84) имеем


Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла