Типовой расчет по математике Функции нескольких переменных Примеры вычисления интегралов Кратные интегралы Криволинейные и поверхностные интегралы

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач

Криволинейные и поверхностные интегралы.
Элементы теории поля

Типовые примеры и их решения

Пример 4. Вычислить , где L – дуга параболы , пробегаемая от точки  до .

Решение. Данный интеграл – криволинейный интеграл по координатам (второго рода).

Для данного интеграла  и при движении из точки 0 в точку   меняется от 0 до 1, и по формуле (78) имеем

.

Пример 5. Вычислить , где  – дуга винтовой линии , от точки пересечения линии с плоскостью  до точки ее пересечения с плоскостью .

Решение. При данном перемещении параметр  меняется от 0 до , по формуле (80) имеем

Пример 6. Применяя формулу Грина, вычислить

,

где  – окружность .

Решение. Для данного интеграла используем формулу Грина.

В данном случае

.

Применяя формулу Грина (81), получаем

.


Область  – круг (рис. 45). Введем полярные координаты   . Уравнение окружности в полярных координатах принимает вид  или . Угол  меняется от  до  (круг находится в первой и четвертой четверти).

Тогда получаем

.


Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла