Типовой расчет по математике Функции нескольких переменных Примеры вычисления интегралов Кратные интегралы Криволинейные и поверхностные интегралы

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач

Кратные интегралы

Цилиндрические и сферические координаты для вычисления тройных интегралов
Пример 16. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного плоскостью у = 0, цилиндром  и конусом .

Решение. Тело, объем которого находим (см. рис. 38), ограничено «снизу» плоскостью у = 0, а «сверху» конусом  и проектируется в область D плоскости x0z, ограниченную окружностью .

Введем цилиндрические координаты:

, y = y.

С учетом того, что данное тело симметрично относительно плоскостей y0z и y0x и что уравнения окружности, ограничивающей область D и конуса, соответственно принимают вид  и  имеем

.


Рис. 38

Пример 17. Найти момент инерции относительно начала координат тела, ограниченного параболоидом  и плоскостью z = 4 (m = 1) (рис. 39).

Решение. Согласно формуле (69) имеем

.

Введя цилиндрические координаты:

, z = z,

получим


.


Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла