Типовой расчет по математике Функции нескольких переменных Примеры вычисления интегралов Кратные интегралы Криволинейные и поверхностные интегралы

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач

Кратные интегралы

Цилиндрические и сферические координаты для вычисления тройных интегралов
Пример 14. Вычислить тройной интеграл , если область V ограничена плоскостями y, z = 0, z = a и цилиндром .

Решение. Область V (рис. 35) данного интеграла ограничена «снизу» плоскостью z = 0, а «сверху» – плоскостью z = a. Эта область проектируется в область D плоскости х0у (рис. 36), ограниченную прямой у = 0 и окружностью . Введем цилиндрические координаты

,  z = z.

Так как , то

.


В области V координата j меняется от 0 до , r – от 0 до r = 2cos j (рис. 36), z – от плоскости z = 0 до плоскости z = a.

Таким образом,

.

Пример 15. Вычислить тройной интеграл , если область V ограничена плоскостями x = 0, y = 0, z = 0 и сферой .

Решение. Область V (рис. 37) ограничена «снизу» плоскостью z = 0, «сверху» – сферой . В сферических координатах , поэтому по формуле (58)


.

Очевидно, что в области V j меняется от 0 до , q – от 0 до , r – от 0 до а, так как уравнение сферы принимает вид  или r = a. Тогда имеем

.

Для вычисления внутреннего интеграла воспользуемся подстановкой :

.

Таким образом,

.


Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла