Типовой расчет по математике Функции нескольких переменных Примеры вычисления интегралов Кратные интегралы Криволинейные и поверхностные интегралы

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач

Кратные интегралы

Цилиндрические и сферические координаты для вычисления тройных интегралов
Пример 11. Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластинки, ограниченной верхней половиной эллипса  (a > b) и его большой осью (рис. 32).

Решение. Пластинка лежит в плоскости y0z. В силу симметрии пластинки относительно оси 0z имеем yc = 0. Уравнение верхней половины эллипса, разрешенное относительно z, имеет вид . Для нахождения Zc найдем My и m (m = 1):

.

.

Следовательно, .

Пример 12. Вычислить тройной интеграл , если область V ограничена плоскостями x = 1, x = 3, y = 0, y = 2, z = 2, z = 5.

Решение. Вычисляем данный интеграл по формуле (53)

.

Внутренний интеграл вычисляем, считая х и у постоянными:

.

Полученную функцию от х и у интегрируем по у, считая х постоянным:

.

Полученную функцию от х интегрируем по x:

.

Обычно для сокращения записи все вычисления записывают в одну строку:

.

Пример 13. Вычислить тройной интеграл , если область V ограничена плоскостями x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1.

Решение. В этой задаче область V можно спроектировать, например, на плоскость x0z .

Тогда область V (рис. 33) имеет нижнюю границу у = 0 и верхнюю границу . Область D (рис. 34) проектируется в отрезок [0; 1] оси 0х и имеет границы z = 0 и z = 1– x. Переходя к повторному интегрированию, получим

.


Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла