Типовой расчет по математике Функции нескольких переменных Примеры вычисления интегралов Кратные интегралы Криволинейные и поверхностные интегралы

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач

Кратные интегралы

Цилиндрические и сферические координаты для вычисления тройных интегралов

Пример 7. В двойном интеграле  расставить пределы интегрирования в полярных координатах, если область D ограничена окружностями ,  и прямыми у = х и у = 2х.

Решение. Запишем уравнения окружностей в виде  и . Область D ограничена двумя окружностями и двумя прямыми, вырезающими из полученной области сектор (рис. 28).

Уравнения окружностей в полярных координатах принимают вид:

;

.

Угол j меняется от  (прямая у=х) до arctg2 (прямая у =2х). При каждом фиксированном значении угла j r меняется от 4cos j до r = 8 cos j. Получаем

.

Пример 8. В двойном интеграле  расставить пределы в полярных координатах, если область D ограничена кривой .

Решение. Введем полярные координаты x = r cosj,  z = r sin j. Уравнение кривой в полярных координатах принимает вид

 .

При изменении угла j от до  и от  до  r меняется от 0 до  (рис. 29).

Тогда получаем

Пример 9. Вычислить двойной интеграл , если область D ограничена кривыми  ,  и лежит в первой четверти (рис. 30).


Решение. Для решения данной задачи удобно ввести так называемые обобщенные полярные координаты, которые применяются, когда границей области интегрирования служит эллипс или дуга эллипса, положив , .

Найдем якобиан данного перехода:

  и | J |=abr.

Уравнение эллипса  принимает вид

   r = 1,

а уравнение  Þ r= 2.

При изменении угла j от 0 до  (область D в первой четверти) r меняется от 1 до 2. Тогда получаем

.

Пример 10. Вычислить площадь плоской области D, ограниченной прямыми у = –1, у = –х и окружностью .

Решение. Область D (рис. 31) данного примера спроектируем на ось 0у, которая проектируется в отрезок [–1; 0] и имеет левой границей линию , а правой – прямую х = –у.

Тогда используя формулу (41), получаем

.

.

Окончательно получаем .


Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла