Типовой расчет по математике Функции нескольких переменных Примеры вычисления интегралов Кратные интегралы Криволинейные и поверхностные интегралы

Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач

Кратные интегралы

Цилиндрические и сферические координаты для вычисления тройных интегралов

Пример 4. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

.

Решение. Область D (см. рис. 25) является простой относительно оси 0х. Проекцией области D на ось 0х является отрезок [0, 2a]. Нижняя граница – дуга окружности , верхняя – парабола .

Область D проектируется на ось 0у в отрезок [0, 2a]. Пересекая область D стрелками, параллельными оси 0х, видим, что линии входа и выхода не описываются одним уравнением.

Разбивая область D прямой у = а на три части:

;

;

,

получим

.

Пример 5. Вычислить двойной интеграл , если область D ограничена окружностью  и прямыми у = х и .

Решение. В данном примере область D – сектор круга радиуса R с центром в начале координат (рис. 26). Введем полярные координаты.

В полярных координатах

и уравнение окружности принимает вид r = R. Угол j меняется от  (прямая у = х) до  (прямая ). Тогда по формуле (39) получим

.

Пример 6. Вычислить двойной интеграл , если область D ограничена окружностью .

Решение. Преобразуем уравнение  следующим образом:

   .

Область D – круг с центром в точке (0; а) (рис. 27). Введем полярные координаты:

x = r cosj, z = r sin j.

Уравнение окружности в полярных координатах принимает вид

Подынтегральная функция имеет вид . Угол j меняется от 0 до p (круг находится в I и II четвертях). При каждом фиксированном значении угла j r меняется от 0 (в начале координат) до r = 2a sin j (на окружности).

Получаем


Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла